Ejercicios resueltos de programación lineal con Solver (archivos para descargar)

Continuando con nuestras entradas de ejercicios para que practiques; te presentamos algunos ejercicios resueltos de programación lineal con Solver, donde podrás descargar el archivo excel de la solución.

De la misma forma que en nuestro post de “Ejercicios resueltos de programación lineal por el método gráfico”; estos problemas fueron tomados del Suplemento E: Programación Lineal, del libro Administración de Operaciones-Procesos y cadenas de valor de Krajewski, Ritzman y Malhotra.

Como recomendación inicial, si es que recién empiezas con este tema, revisa nuestro post sobre cómo resolver un problema de programación lineal con Solver.

Problema 1:

La empresa Trim-Look Company fabrica varias líneas de faldas, vestidos y chaquetas deportivas. Recientemente, una consultora propuso que la compañía evaluara de nuevo su línea South Islander y asignara sus recursos a productos capaces de maximizar la contribución a las utilidades y a los gastos generales. Cada producto requiere la misma tela de poliéster y tiene que pasar por los departamentos de corte y de costura. Se recopilaron los siguientes datos para este estudio:

El departamento de corte dispone de 100 horas de capacidad, el de costura tiene 180 horas de capacidad y cuenta con 60 yardas de material. Cada falda contribuye con $5 a las utilidades y los gastos generales; cada vestido, con $17; y cada chaqueta deportiva, con $30.

1. Especifique la función objetivo y las restricciones para este problema.
2. Utilice algún programa de computadora para resolver el problema.

Solución 1:

Parte a)

x = Número de faldas a producir

y = Número de vestidos a producir

z = Número de chaquetas deportivas a producir

Función Objetivo:

Max (5x + 17y + 30z)

Restricciones:

Corte:                                  x + 3y + 4z ≤ 100

Costura:                              x + 4y + 6z ≤ 180

Material:                             x + y + 4z ≤ 60

Parte b)

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 1

x = 0                      y = 20                    z = 10

Problema 2:

Reflexione más a fondo en el problema 1.

1. ¿Cuánto estaría usted dispuesto a pagar por una hora extra de tiempo para la operación de corte? ¿Y por una hora extra para la operación de costura? ¿Y por una yarda adicional de material? Explique su respuesta a cada pregunta.
2. Determine el rango de valores del lado derecho dentro del cual el precio sombra sería válido para la restricción de corte y para la restricción de material.

Solución 2:

Parte a)

En el archivo Excel podemos verificar el informe de sensibilidad donde se muestran los precios sombra para cada restricción:

• Corte: Se podría pagar hasta $4.75 por hora extra.
• Costura: En el departamento de costura existe holgura; por lo tanto, no se requiere tiempo extra.
• Material: Se podría pagar hasta $2.75 por yarda adicional.

Parte b)

Del informe de sensibilidad de las columnas permisible aumentar y permisible reducir se obtiene el rango de valores:

• Corte: [60;132]
• Material: [33.33;100]

Problema 3:

Polly Astaire fabrica ropa fina para hombres altos y corpulentos. Hace unos cuantos años, Astaire incursionó en el mercado de ropa deportiva con su línea Sunset de shorts, pantalones y camisas. La gerencia desea fabricar la cantidad adecuada de cada producto para maximizar las utilidades. La ruta de fabricación de cada tipo de prenda pasa por dos departamentos, A y B. A continuación, se presentan los datos pertinentes para cada producto.

El departamento A tiene 120 horas de capacidad, el departamento B tiene 160 horas de capacidad y se dispone de 90 yardas de material. Cada camisa contribuye con $10 a las utilidades y los gastos generales; cada par de shorts, con $10; y cada par de pantalones, con $23.

1. Especifique la función objetivo y las restricciones para este problema.
2. Utilice un programa de computadora para resolver el problema.
3. ¿Cuánto debe estar dispuesta a pagar la empresa Astaire por una hora adicional de capacidad en el departamento A? ¿Y por una hora adicional de capacidad en el departamento B? ¿Dentro de qué rango de valores del lado derecho son válidos estos precios sombra?

Solución 3:

Parte a)

x = Número de camisas a producir

y = Número de pantalones cortos a producir

z = Número de pantalones largos a producir

Función Objetivo:

Max (10x + 10y + 23z)

Restricciones:

Departamento A:                            2x + 2y + 3z ≤ 120

Departamento B:                            x + 3y + 4z ≤ 160

Material:                                           2x + y + 4z ≤ 90

Parte b)

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 3

x = 7.78                y = 38.89              z = 8.89

Parte c)

En el archivo Excel podemos verificar el informe de sensibilidad donde se muestran los precios sombra para cada restricción:

• Departamento A: Se podría pagar hasta $0.56 por hora extra.
• Departamento B: Se podría pagar hasta $1.78 por hora extra.

Rangos:

• Departamento A: [110.25;136]
• Departamento B: [120;174]

Problema 4:

Butterfield Company produce diversos cuchillos ce caza. Cada cuchillo se procesa en cuatro máquinas. A continuación se presentan los tiempos de procesamiento requeridos. Las capacidades de las máquinas (en horas) son: 1,500 para la máquina 1; 1,400 para la máquina 2; 1,600 para la máquina 3, y 1,500 para la máquina 4.

Cada producto contiene una cantidad diferente de dos materias primas básicas. La materia prima 1 cuesta $0.50 por onza y la materia prima 2 cuesta $1.50 por onza. Se dispone de 75,000 onzas de la materia prima 1 y 100,000 onzas de la materia prima 2.

1. Si el objetivo es maximizar las utilidades, especifique la función objetivo y las restricciones correspondientes a este problema. Suponga que los costos de mano de obra son insignificantes.
2. Resuelva el problema con un programa de computadora.

Solución 4:

Parte a)

A = Número de cuchillos tipo “A” a producir

B = Número de cuchillos tipo “B” a producir

C = Número de cuchillos tipo “C” a producir

D = Número de cuchillos tipo “D” a producir

E = Número de cuchillos tipo “E” a producir

Función objetivo:

Max (15A + 25.5B + 14C + 19.5D +27E)

Restricciones

Maquina 1:                         0.05A + 0.15B + 0.2C + 0.15D + 0.05E ≤ 1500

Maquina 2:                         0.1A + 0.1B + 0.05C + 0.1D + 0.1E ≤ 1400

Maquina 3:                         0.15A + 0.05B + 0.1C + 0.1D + 0.1E ≤ 1600

Maquina 4:                         0.05A + 0.05B + 0.2C + 0.1D + 0.05E ≤ 1500

Materia Prima 1:              4A + 6B + C + 2D + 6E ≤ 75000

Materia Prima 2:              2A + 8B + 3C + 5D + 10E ≤ 100000

Parte b)

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 4

A = 3574.47         B = 2638.29        C = 3063.8           D = 0      E = 6255.32

Problema 5:

Nutmeg Corporation elabora cinco productos diferentes a base de nueces simples y mezcladas: el paquete de almendras, el paquete de nueces, el paquete gourmet, el paquete fantasía y el paquete económico. Cada producto (individual o en mezcla) se vende en latas de una libra. La empresa compra almendras a razón de $0.80 por libra, nueces a $0.60 por libra y cacahuates a $0.35 por libra. Los cacahuates se emplean para completar todas las mezclas y la compañía tiene una provisión ilimitada de ellos.

El suministro de almendras y nueces es limitado. La compañía puede comprar hasta 3,000 libras de almendras y 2,000 libras de nueces. A continuación, se presentan los requisitos de recursos y los pronósticos de demanda de los productos. Utilice algún programa de computadora para resolver este problema.

1. ¿Con qué mezcla se minimiza el costo que implica satisfacer la demanda de los cinco productos?
2. ¿Cuál sería el impacto en la mezcla de productos si sólo hubiera 2,000 libras de cacahuates disponibles?
3. Si el paquete gourmet requiriera 50% de almendras y 50% de nueces, ¿qué efecto produciría en la mezcla de productos?
4. ¿Cuál sería el impacto en la mezcla de productos si la demanda del paquete fantasía se duplicara?

Solución 5:

Parte a)

V = Número de latas del paquete de almendras a producir

W = Número de latas del paquete de nueces a producir

X = Número de latas del paquete gourmet a producir

Y = Número de latas del paquete fantasía a producir

Z = Número de latas del paquete económico a producir

Cantidad de Almendras:               V + 0.45X + 0.3Y + 0.2Z

Cantidad de Nueces:                     W + 0.45X + 0.3Y + 0.2Z

Cantidad de cacahuates:              0.1X + 0.4Y + 0.6Z

Función Objetivo:

Minimizar Costo

Min (0.8*Cantidad de Almendras + 0.6*Cantidad de Nueces + 0.35*Cantidad de Cacahuates)

Min (0.8*(V + 0.45X + 0.3Y + 0.2Z) + 0.6*(W + 0.45X + 0.3Y + 0.2Z) + 0.35*(0.1X + 0.4Y + 0.6Z))

Simplificando:

Min (0.8V + 0.6W + 0.665X + 0.56Y + 0.49Z)

Restricciones

Almendras:                        V + 0.45X + 0.3Y + 0.2Z ≤ 3000

Nueces:                               W + 0.45X + 0.3Y + 0.2Z ≤ 2000

Demanda:                          V ≥ 1250

                                             W ≥ 750

                                              X ≥ 1000

                                              Y ≥ 500

                                              Z ≥ 1500

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 5 – a

V = 1250               W = 750               X = 1000               Y = 500                  Z = 1500

Parte b)

Se agrega una nueva restricción respecto al cacahuate:

0.1X + 0.4Y + 0.6Z ≤ 2000

Esta restricción no afecta la solución óptima debido a que los cacahuates solo se utilizan hasta una cantidad de 1200:

0.1*1000 + 0.4*500 + 0.6*1500 = 1200 

Parte c)

Se modifican las restricciones de Materia Prima:

Almendras:                        V + 0.5X + 0.3Y + 0.2Z ≤ 3000

Nueces:                               W + 0.5X + 0.3Y + 0.2Z ≤ 2000

Cacahuates:                       0.4Y + 0.6Z ≤ 2000

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 5 – c

V = 1250               W = 750               X = 1000               Y = 500                  Z = 1500

Parte d)

Respecto al problema original

Cambiamos la restricción de la demanda del paquete fantasía:

Y ≥ 1000

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 5 – d

V = 1250               W = 750               X = 1000               Y = 1000               Z = 1500

Problema 6:

Un problema que preocupa con frecuencia a los gerentes de industrias procesadoras es el proceso de mezclado. Considere la tarea a la que deberá enfrentarse Lisa Rankin, gerente de compras de una compañía fabricante de aditivos especiales. Ella tiene que determinar la cantidad apropiada de cada una de las materias primas que necesitará comprar para la producción de un producto determinado.

Cada galón de producto terminado deberá tener un punto de combustión de 220°F, cuando menos. Además, el contenido gamma de ese producto (que produce contaminación de hidrocarburos) no puede ser mayor del 6% del volumen, y el contenido zeta del producto (un agente para limpiar las partes móviles del interior de los motores) deberá constituir por lo menos el 12% por volumen. Hay tres materias primas disponibles. Cada una de ellas tiene especificaciones diferentes en términos de las siguientes características:

La materia prima A cuesta $0.60 por galón y las materias primas B y C cuestan $0.40 y $0.50 por galón, respectivamente. La gerente de compras se ha propuesto minimizar el costo de las materias primas por cada galón de producto. Utilice la programación lineal para encontrar la proporción óptima de cada materia prima en un galón del producto terminado.

(Sugerencia: Exprese las variables de decisión en términos de fracciones de galón; la suma de todas las fracciones deberá ser igual a 1.00).

Solución 6:

A = Fracción de galón de la materia prima A

B = Fracción de galón de la materia prima B

C = Fracción de galón de la materia prima C

Función Objetivo:

Min (0.6A + 0.4B + 0.5C)

Restricciones:

Composición total:                          A + B + C = 1

Punto de Combustión:                  200A + 180B + 280C ≥ 220

Contenido Gamma:                        4A + 3B + 10C ≤ 6

Contenido Zeta:                               20A + 10B + 8C ≥ 12

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 6

A = 7/26               B = 5/13               C = 9/26

Problema 7:

Una pequeña empresa manufacturera fabrica tres tipos básicos de componentes que utilizan otras compañías. Cada componente se procesa en tres máquinas. A continuación, se presentan los tiempos de procesamiento.

Las capacidades totales (en horas) son: 1,600 para la máquina 1; 1,400 para la máquina 2, y 1,500 para la máquina 3.

Cada componente contiene una cantidad diferente de dos materias primas básicas. La materia prima 1 cuesta $0.20 por onza y la materia prima 2 cuesta $0.35 por onza. Actualmente, la empresa dispone de 200,000 onzas de la materia prima 1 y 85,000 onzas de la materia prima 2.

1. Suponga que la compañía debe fabricar por lo menos 1,200 unidades del componente B, que los costos de mano de obra son insignificantes y que el objetivo es maximizar las utilidades. Especifique la función objetivo y las restricciones correspondientes a este problema.
2. Utilice algún programa de computadora para resolver el problema.

Solución 7:

Parte a)

A = Número de componentes tipo A

B = Número de componentes tipo B

C = Número de componentes tipo C

Función Objetivo:

Max (40A + 28B + 24C)

Restricciones:

Máquina 1:                                         0.25A + 0.2B + 0.1C ≤ 1600

Máquina 2:                                         0.1A + 0.15B + 0.05C ≤ 1400

Máquina 3:                                         0.05A + 0.1B + 0.15C ≤ 1500

Materia Prima 1:                               32A + 26B + 19C ≤ 200000

Materia Prima 2:                               12A + 16B + 9C ≤ 85000

Componente B:                                  B ≥ 1200

Parte b)

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 7

A = 4483.33         B = 1200              C = 1333.33

Problema 8:

El siguiente es un modelo de programación lineal para analizar la mezcla de productos de Maxine’s Hat Company, una compañía que fabrica sombreros en tres estilos:

Maximice:                           $7x₁ + $5x₂ + $2x₃ = Z

Sujeto a:              3x₁ + 5x₂ + x₃ ≤ 150 (tiempo de máquina A)

5x₁ + 3x₂ + 2x₃ ≤ 100 (tiempo de máquina B)

x₁ + 2x₂ + x₃ ≤ 160 (tiempo de máquina C)

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, y x₃ ≥ 0

Los resultados de OM Explorer que se presentan en la figura muestran la solución óptima del problema. Considere cada una de las siguientes afirmaciones en forma independiente y responda si es verdadera o falsa. Explique cada respuesta.

1. Si el precio del sombrero 3 se incrementara a $2.50, éste formaría parte de la mezcla de productos óptima.
2. La capacidad de la máquina C puede reducirse a 65 horas sin afectar las utilidades.
3. Si la máquina A tuviera una capacidad de 170 horas, no habría ningún cambio en la producción total.

Solución 8:

1. El rango de x₃ donde la solución no cambia es [Sin Límite;2.75]. Por lo tanto, si el precio se incrementa a $2.5 la solución óptima no varía, es decir el sombrero 3 no forma parte de la mezcla de productos óptima.
2. La máquina C tiene una holgura de 100.625 horas; por lo tanto, el reducir 65 horas no afectará la solución óptima ni las utilidades.
3. La máquina A es una restricción vinculante, por lo que aumentar su capacidad cambiará la solución óptima.

Problema 9:

Washington Chemical Company fabrica productos químicos y solventes para la industria de adhesivos. El proceso de producción está dividido en varias “fábricas enfocadas”, cada una de las cuales elabora un conjunto específico de productos. Ha llegado el momento de preparar el plan de producción para una de esas fábricas enfocadas. Esta fábrica en particular elabora cinco productos que tienen que pasar tanto por el reactor como por el separador. Cada producto requiere también cierta combinación de materias primas. Los datos de producción se presentan en la tabla:

Washington Chemical Company tiene vigente un contrato a largo plazo con un importante fabricante de adhesivos que requiere una producción anual de 3,000 libras de los productos 3 y 4. Estos productos podrían fabricarse en mayor cantidad porque la demanda actual es superior a la capacidad de producción.

1. Determine la cantidad de producción anual de cada producto que permita maximizar la contribución a las utilidades. Suponga que la compañía puede vender todo lo que produzca.
2. Especifique el tamaño del lote de cada producto.

Solución 9:

Parte a)

A = Número de libras de Producto 1

B = Número de libras de Producto 2

C = Número de libras de Producto 3

D = Número de libras de Producto 4

E = Número de libras de Producto 5

Función Objetivo:

Max (4A + 7B + 3.5C + 4D + 5.7E)

Restricciones:

Reactor                               0.05A + 0.1B + 0.8C + 0.57D + 0.15E ≤ 7500

Separador                          0.2A + 0.02B + 0.2C + 0.09D + 0.30E ≤ 7500

Materia Prima 1               0.2A + 0.5B + 0.1C + 0.4D + 0.18E ≤ 10000

Materia Prima 2               0.7B + 0.5D ≤ 6000

Materia Prima 3               0.1A + 0.2B + 0.4C ≤ 7000

Demanda                           C ≥ 3000

                                             D ≥ 3000

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 9

A = 17310.71      B = 6428.57        C = 3000               D = 3000               E = 10130.95

Utilidad total = $194 489.29

Parte b)

En el mismo archivo excel puedes ver los cálculos del tamaño de lote por separado para el reactor y el separador:

Lote Reactor:

A = 8655.36         B = 6428.57        C = 1000               D = 1000               E = 5065.48

Lote Separador:

A = 3462.14         B = 6428.57        C = 3000               D = 3000               E = 2532.74

Problema 10:

Inside Traders, Inc. invierte en varios tipos de valores. La empresa cuenta con $5 millones para invertir de inmediato y desea maximizar los intereses que produzca dicha inversión durante el año próximo. En la siguiente tabla se presentan cuatro posibilidades de inversión. Para estructurar mejor la cartera de inversión, la junta directiva ha especificado que por lo menos el 40% de la inversión deberá realizarse en bonos corporativos y acciones ordinarias.

Además, no se deberá dedicar más del 20% de la inversión a bienes raíces.

Formule la función objetivo y las restricciones de este problema de inversión de cartera una vez que haya definido cuidadosamente las variables de decisión.

Solución 10:

A = Cantidad a invertir en bonos corporativos

B = Cantidad a invertir en acciones ordinarias

C = Cantidad a invertir en certificados en oro

D = Cantidad a invertir en bienes raíces

Función Objetivo

Max (0.085A + 0.09B+ 0.1C+0.13D)

Restricciones:

Dinero disponible:                                                         A + B + C + D = 5000000

Bonos corporativos y acciones ordinarias:               A + B ≥ 0.4*5000000

Bienes raíces:                                                                  D ≤ 0.2*5000000

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 10

A = 0      B = 2000000        C = 2000000               D = 1000000

Problema 11:

JPMorgan Chase tiene un problema de programación. Los operadores trabajan turnos de ocho horas y pueden iniciar sus actividades a medianoche, a las 4 A.M., a las 8 A.M., a mediodía, a las 4 P.M. o a las 8 P.M. Los operadores se necesitan para satisfacer el siguiente patrón de demanda. Formule un modelo de programación lineal para satisfacer los requisitos de demanda con el menor número posible de operadores.

Solución 20:

X₁ = N° de trabajadores que inician en el 1er periodo (Medianoche – 4 am)

X₂ = N° de trabajadores que inician en el 2do periodo (4 am – 8 am)

X₃ = N° de trabajadores que inician en el 3er periodo (8 am – mediodía)

X₄ = N° de trabajadores que inician en el 4to periodo (Mediodía – 4 pm)

X₅ = N° de trabajadores que inician en el 5to periodo (4 pm – 8 pm)

X₆ = N° de trabajadores que inician en el 6to periodo (8 pm – medianoche)

Función objetivo:

Min (X₁ + X₂ + X₃ + X₄ +X₅ + X₆)

Restricciones:

Operadores requeridos:                       X₆ + X₁ ≥ 4

                                                               X₁ + X₂ ≥ 6

                                                               X₂ + X₃ ≥ 90

                                                               X₃ + X₄ ≥ 85

                                                               X₄ + X₅ ≥ 55

                                                               X₅ + X₆ ≥ 20

En el siguiente archivo puedes ver la solución en Solver Excel: Problema 11

X₁ = 4                    X₂ = 40                  X₃ = 50                  X₄ = 35                  X₅ = 20                  X₆ = 0

Reflexión Final

Definitivamente Solver nos simplifica muchísimo la resolución de problemas de programación lineal por lo que su aprendizaje es obligatorio en el desarrollo del curso de Investigación de Operaciones.

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