Ejercicios resueltos de plan agregado de producción con solver (archivos para descargar)

Como mencionamos en entradas anteriores, la programación lineal tiene diversas aplicaciones incluida la planificación de la producción. La ventaja de esta herramienta es que va más allá de las estrategias de planificación típicas (inventario, subcontratación, contrataciones y despidos) y trata de encontrar el menor costo combinando todas ellas. Es por ello que en el presente post te presentamos ejercicios resueltos de plan agregado de producción con Solver utilizando programación lineal.

 

Estos problemas fueron tomados del Suplemento E: Programación Lineal, del libro Administración de Operaciones-Procesos y cadenas de valor de Krajewski, Ritzman y Malhotra.

Si aún desconoces cómo habilitar Solver, te presentamos el siguiente vídeo:

Problema 1:

Warwick Manufacturing Company fabrica palas para uso industrial y doméstico. Las ventas de las palas son estacionales y los clientes de Warwick se niegan a tener un inventario de palas durante los periodos en que las ventas son flojas. En otras palabras, los clientes desean minimizar su inventario, exigen la entrega de mercancía de acuerdo con sus programas y no aceptan pedidos atrasados.

Warwick emplea trabajadores manuales no calificados, que necesitan sólo una capacitación muy elemental. La producción de 1,000 palas cuesta $3,500 en tiempo regular y $3,700 en tiempo extra. Estas cantidades incluyen los materiales, que representan más del 85% del costo. El tiempo extra se limita a la producción de 15,000 palas por trimestre.

Además, la empresa puede recurrir a subcontratistas, al costo de $4,200 por cada millar de palas, pero el contrato colectivo de trabajo de Warwick restringe este tipo de producción a 5,000 palas por trimestre.

El nivel actual de inventario es de 30,000 palas, y la gerencia desea llegar al final del año con ese mismo nivel. El mantenimiento de un inventario de 1,000 palas cuesta $280 por trimestre. El pronóstico de demanda anual más reciente muestra los siguientes datos:

Construya un modelo de programación lineal para determinar el mejor plan de capacidad de tiempo regular. Suponga lo siguiente:

• La empresa tiene ahora 30 trabajadores y la gerencia desea seguir teniendo el mismo número en el trimestre 4.
• Cada trabajador puede producir 4,000 palas por trimestre.
• El costo de contratar a un trabajador es de $1,000 y de despedir a un trabajador es de $600.

Solución 1:

Variables de decisión:

A_i = Unidades a producir en tiempo regular en el trimestre i

B_i = Unidades a producir en tiempo extra en el trimestre i

C_i = Unidades a producir por subcontratación en el trimestre i

D_i = Nivel de inventarios al final del trimestre i

E_i = Número de Trabajadores contratados en el trimestre i

F_i = Número de Trabajadores despedidos en el trimestre i

G_i = Número total de trabajadores en el trimestre i

i = Número de trimestre, va de 1 a 4

Datos del Problema:

• Costo por unidad producida en tiempo regular:                         $3.5
• Costo por unidad producida en tiempo extra:                             $3.7
• Costo por unidad subcontratada:                                                   $4.2
• Costo de mantener producto en inventario:                                $0.28
• Costo de contratar un trabajador:                                                  $1000
• Costo de despedir un trabajador:                                                   $600
• Trabajadores al inicio y al final del periodo:                                 30
• Producción por cada trabajador:                                                    4000 palas por trimestre

Función Objetivo:

Restricciones:

Las unidades a producir en tiempo regular por trimestre (A_i), se obtiene multiplicando la cantidad de trabajadores por trimestre (G_i) por la producción trimestral de cada trabajador (4000 palas):

A₁ = 4000G₁

A₂ = 4000G₂

A₃ = 4000G₃

A₄ = 4000G₄

Balance de Trabajadores: La cantidad de trabajadores por trimestre (G_i) será igual a la cantidad de trabajadores del mes anterior (G_i-1) sumado a los trabajadores contratados en el trimestre (E_i) menos los trabajadores despedidos en el trimestre (F_i).

G₁ = 30 + E₁ – F₁

G₂ = G₁ + E₂ – F₂

G₃ = G₂ + E₃ – F₃

G₄ = G₃ + E₄ – F₄

G₄ = 30

La cantidad de horas extras (B_i) está limitada a 15000 palas por trimestre como máximo:

B₁ ≤ 15000

B₂ ≤ 15000

B₃ ≤ 15000

B₄ ≤ 15000

Las unidades obtenidas por subcontratación (C_i) está limitada a 5000 palas por trimestre como máximo:

C₁ ≤ 5000

C₂ ≤ 5000

C₃ ≤ 5000

C₄ ≤ 5000

Balance de Niveles de Inventario: El inventario al finalizar el trimestre (D_i) es igual a la producción regular (A_i) más la producción en tiempo extra (B_i) más las unidades subcontratadas (C_i) más el inventario en el trimestre anterior (D_i-1) menos las cantidades demandadas.

D₁ = A₁ + B₁ + C₁ + 30000 – 70000

D₂ = A₂ + B₂ + C₂ + D₁ – 150000

D₃ = A₃ + B₃ + C₃ + D₂ – 320000

D₄ = A₄ + B₄ + C₄ + D₃ – 100000

Para la solución en solver elaboramos dos cuadros idénticos; uno vacío para que se calculen los valores de las variables y otro con las fórmulas correspondientes a las restricciones:

Ahora registramos las restricciones en solver según el siguiente detalle:

Los resultados óptimos serían los siguientes:

La solución final considera que se deben contratar 16.875 trabajadores en el II Trimestre y despedir la misma cantidad en el IV Trimestre; esto se puede interpretar que se contratará un trabajador con una jornada menor que los otros trabajadores. Si se desea se puede buscar la solución con valores enteros obteniéndose el siguiente resultado:

La celda resaltada en amarillo representa un ajuste a la producción del tiempo extra en el tercer trimestre para tener el mismo inventario final que en nuestra solución óptima. Se puede apreciar que el costo final aumenta ligeramente respecto a nuestro cálculo óptimo debido al redondeo del trabajador.

Para obtener la solución entera, se agrega la siguiente restricción:

En el siguiente archivo puedes descargar la solución en Solver-Excel: Problema 1

Problema 2:

La gerencia de Warwick Manufacturing Company está dispuesta a ofrecer cambios de precios a sus clientes como incentivo para que compren palas antes de las temporadas tradicionales.

El personal de ventas y marketing de Warwick estima que la demanda de palas resultante de los cambios de precios sería la siguiente:

 

 

 

Calcule el plan de producción óptimo de acuerdo con el nuevo programa de demanda. Compárelo con el plan de producción óptimo que se determinó según el programa de demanda original. Evalúe los efectos potenciales de esta forma de administración de la demanda.

Solución 2:

El planteamiento de las variables, función objetivo y restricciones es el mismo que en el ejercicio anterior, cambiando solamente los datos de la demanda original. La solución óptima es:

Este nuevo plan de producción representa un costo menor respecto al planteamiento anterior, debido a que la demanda se distribuye de manera más equitativa entre los trimestres, reduciendo la necesidad de contratar personal en el segundo trimestre, de mantener productos en inventario y de producción en tiempo extra.

En el siguiente archivo puedes descargar la solución en Solver Excel: Problema 2

Problema 3:

Bull Grin Company produce un suplemento nutritivo que forma parte de los alimentos para animales que fabrican diversas compañías. Las ventas son estacionales y los clientes de Bull Grin se niegan a acumular inventarios del suplemento durante los periodos de pocas ventas. En otras palabras, los clientes desean minimizar sus inventarios, insisten en que la mercancía se entregue de acuerdo con sus programas y no aceptan pedidos atrasados.

Bull Grin emplea trabajadores manuales no calificados, que requieren poca o ninguna capacitación. La producción de 1,000 libras de suplemento cuesta $810 si se realiza en tiempo regular y $900 en tiempo extra. En estas sumas están incluidos los materiales, que representan más del 80% del costo. El tiempo extra se limita a la producción de 30,000 libras por trimestre. Además, se puede obtener la ayuda de subcontratistas a razón de $1,100 por cada 1,000 libras, pero en cada trimestre solamente es posible producir 10,000 libras de esta manera.

El nivel actual de inventario es de 40,000 libras, y la gerencia desea terminar el año con ese mismo nivel. El mantenimiento en inventario de 1,000 libras de suplemento alimenticio cuesta $110 por trimestre. A continuación, se presenta el pronóstico anual más reciente.

La empresa tiene actualmente 180 trabajadores, y la gerencia desea continuar con ese mismo número en el trimestre 4. Cada trabajador es capaz de producir 2,000 libras por trimestre, por lo que la producción en tiempo regular cuesta $1,620 por trabajador. A los trabajadores ociosos se les tiene que pagar esa misma tarifa. Contratar a un trabajador cuesta $1,000 y despedir a un trabajador cuesta $600.

Formule la función objetivo y las restricciones apropiadas para describir este problema de planificación de producción, después que haya definido completamente las variables de decisión.

Solución 3:

Variables de decisión:

A_i = Unidades a producir en tiempo regular en el trimestre i

B_i = Unidades a producir en tiempo extra en el trimestre i

C_i = Unidades a producir por subcontratación en el trimestre i

D_i = Nivel de inventarios al final del trimestre i

E_i = Número de Trabajadores contratados en el trimestre i

F_i = Número de Trabajadores despedidos en el trimestre i

G_i = Número total de trabajadores en el trimestre i

i = Número de trimestre, va de 1 a 4

Datos del Problema:

• Costo por unidad producida en tiempo regular:                         $0.81
• Costo por unidad producida en tiempo extra:                             $0.9
• Costo por unidad subcontratada:                                                   $1.1
• Costo de mantener producto en inventario:                                $0.11
• Costo por trabajador:                                                                        $1620
• Costo de contratar un trabajador:                                                  $1000
• Costo de despedir un trabajador:                                                   $600
• Trabajadores al inicio y al final del periodo:                                 180
• Producción por cada trabajador:                                                    2000 libras por trimestre

Función Objetivo

Restricciones:

Unidades para producir en tiempo normal (Se considera menor igual, debido a que pueden existir trabajadores ociosos en el trimestre):

A₁ ≤ 2000G₁

A₂ ≤ 2000G₂

A₃ ≤ 2000G₃

A₄ ≤ 2000G₄

Balance de Trabajadores

G₁ = 180 + E₁ – F₁

G₂ = G₁ + E₂ – F₂

G₃ = G₂ + E₃ – F₃

G₄ = G₃ + E₄ – F₄

G₄ = 180

Horas Extras:

B₁ ≤ 30000

B₂ ≤ 30000

B₃ ≤ 30000

B₄ ≤ 30000

Subcontratación:

C₁ ≤ 10000

C₂ ≤ 10000

C₃ ≤ 10000

C₄ ≤ 10000

Niveles de Inventario

D₁ = A₁ + B₁ + C₁ + 40000 – 100000

D₂ = A₂ + B₂ + C₂ + D₁ – 410000

D₃ = A₃ + B₃ + C₃ + D₂ – 770000

D₄ = A₄ + B₄ + C₄ + D₃ – 440000

D₄ = 40000

La solución óptima se presenta a continuación:

En el siguiente archivo puedes descargar la solución en Solver Excel: Problema 3

Reflexión Final

Estoy seguro que con los ejercicios resueltos que hemos presentado, tus conocimientos en programación lineal y en el uso de Solver se verán reforzados.

Si tienes alguna duda al respecto te invitamos a dejarla en los comentarios. Finalmente, si deseas conocer más sobre programación lineal, te invitamos a visitar nuestra sección de producción y operaciones.