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Ejercicios resueltos de programación lineal por el método gráfico

Una manera muy efectiva de prepararte para un examen o para repasar los apuntes de clase, es revisar ejemplos y ejercicios resueltos. En esta ocasión te presentamos unos ejercicios resueltos de programación lineal por el método gráfico.

Ejercicios resueltos de programación lineal por el método gráfico

Estos problemas fueron tomados del Suplemento E: Programación Lineal, del libro Administración de Operaciones-Procesos y cadenas de valor de Krajewski, Ritzman y Malhotra. La elaboración de las gráficas  y solución se realizó con PHP Simplex. Te recomendamos conocer un poco más sobre el funcionamiento de PHP Simplex, a través del siguiente video:




Ejemplos resueltos de programación lineal – Método gráfico (online) con PHP Simplex

 

Como recomendación adicional, si es que recién empiezas con este tema, revisa nuestro post sobre cómo plantear un problema de programación lineal por el método gráfico y cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico.

Problema 1:

The Really Big Shoe es un fabricante de calzado deportivo para básquetbol y fútbol. El gerente de marketing, Ed Sullivan, tiene que decidir la mejor forma de gastar los recursos destinados a publicidad. Cada uno de los equipos de fútbol patrocinados requiere 120 pares de zapatos. Cada equipo de básquetbol requiere 32 pares de zapatos. Los entrenadores de fútbol reciben $300,000 por concepto de patrocinio para calzado, y los entrenadores de básquetbol reciben $1,000,000. El presupuesto de Sullivan para promociones asciende a $30,000,000.

The Really Big Shoe dispone de una provisión limitada (4 litros, o sea, 4,000 centímetros cúbicos) de flubber, un compuesto raro y costoso que se utiliza en la fabricación del calzado atlético de promoción. Cada par de zapatos para básquetbol requiere 3 cc de flubber y cada par de zapatos de fútbol requiere 1 cc. Sullivan desea patrocinar el mayor número de equipos de básquetbol y fútbol que sus recursos le permitan.

  1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
  2. Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
  3. ¿Cuál es el número máximo de cada tipo de equipo que The Really Big Shoe podrá patrocinar?

Solución 1:

Parte a)

x = Número de equipos de futbol a patrocinar

y = Número de equipos de básquetbol a patrocinar



Función Objetivo:

Max (x + y)

Restricciones:

  • Presupuesto:                             300,000x + 1,000,000y ≤ 30,000,000
  • Flubber:                                     120x + 96y ≤ 4000
  • No negatividad:                        x, y ≥ 0

Parte b)

ejercicio 1 programación lineal método gráfico

Color Verde: Región Factible*

Color Rojo: Solución óptima*

*Los mismos colores se utilizarán para todos los problemas.

La solución visual se encontraría en el punto C:

x =12.280701754386       y = 26.315789473684

Parte c)

Dado que el número de equipos no puede ser un valor decimal consideramos los siguientes valores:

x = 12                    y = 26

Problema 2:

Un estudiante de administración de empresas del Nowledge College necesita completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de administración tendrá que ser mayor que o igual a 23. El número de cursos ajenos al área de administración deberá ser mayor que o igual a 20. El curso de administración promedio requiere un libro de texto que cuesta $60 e implica 120 horas de estudio. Los cursos ajenos al área de administración requieren un libro de texto que cuesta $24 e implican 200 horas de estudio. El estudiante dispone de un presupuesto de $3,000 para libros.

  1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
  2. Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
  3. ¿Con qué combinación de cursos de administración y otros ajenos a esta área se minimizaría el número total de horas de estudio?
  4. Identifique las variables de holgura o superávit.

Solución 2:

Parte a)

X = Cursos de Administración que cursará el estudiante

Y = Cursos ajenos al área de Administración que cursará el estudiante

Función Objetivo:

Min (120X + 200 Y)

Restricciones:

Cursos Necesarios para graduarse:                         X + Y = 65

Cantidad de Cursos de Administración:                 X ≥ 23

Cantidad de Cursos ajenos a Administración:      Y ≥ 20

Presupuesto del estudiante:                                     60X + 24Y ≤ 3000

Parte b)

ejercicio 2 programación lineal método gráfico

La solución visual se encontraría en el punto E:

X = 40       Y = 25

Parte c)

Con los valores obtenidos de X = 40, Y = 25, se minimizará las horas de estudio, teniendo como resultado 9800 horas.

Parte d)

Se tiene las variables de superávit para las restricciones respecto a la cantidad de cursos de administración (s1) y cursos ajenos a la administración (s2).

s1 = 40 – 23 = 17

s2 = 25 – 20 = 5

Problema 3:

En el problema 2, suponga que el objetivo es minimizar el costo de los libros y que el tiempo total de estudio del alumno se limita a 12,600 horas.

  1. Aplique el análisis gráfico para determinar la combinación de cursos que permite minimizar el costo total de los libros.
  2. Identifique las variables de holgura o superávit.

Solución 3:

Parte a)



Variables:

x = Cursos de Administración que cursará el estudiante

y = Cursos ajenos al área de Administración que cursará el estudiante

Se modifica la función objetivo:

Min (60X + 24Y)

Restricciones:

Cursos Necesarios para graduarse:                         X + Y = 65

Cantidad de Cursos de Administración:                 X ≥ 23

Cantidad de Cursos ajenos a Administración:      Y ≥ 20

Tiempo total de estudio:                                            120X + 200Y ≤ 12600

Gráfico:

ejercicio 3 programación lineal método gráfico

La solución visual se encontraría en el punto C:

x =23     y = 42

Mínimo presupuesto: 2388

Parte b)

Se tiene las variables de superávit para las restricciones de la cantidad de cursos ajenos a la administración (s1) y de holgura respecto a las horas de estudio (h1).

s1 = 42 – 20 = 5

h1 = 12600 – (120*23+200*42) = 1440

Problema 4:

Mile-High Microbrewery fabrica una cerveza clara y una oscura. Mile-High dispone de una provisión limitada de cebada, tiene capacidad de embotellamiento limitada y un mercado también limitado para su cerveza clara. Las utilidades son de $0.20 por cada botella de cerveza clara y $0.50 por cada botella de cerveza oscura.

  1. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de recursos en la Mile-High Microbrewery. Aplique el método gráfico de programación lineal para maximizar las utilidades. ¿Cuántas botellas de cada producto deberán fabricarse cada mes?datos programación lineal problema 4
  2. Identifique las restricciones con holgura o superávit.

Solución 4:

Parte a)

Variables:

x1 = Número de botellas de cerveza clara

x2 = Número de botellas de cerveza oscura

Función Objetivo:

Max (0.20x1 + 0.50x2)

Restricciones:

Cebada                                0.1x1 + 0.6x2 ≤ 2000

Embotellado                      x1 + x2 ≤ 6000

Mercado                             x1 ≤ 4000

Gráfico

ejercicio 4 programación lineal método gráfico

La solución visual se encontraría en el punto C:

x1 =3200              x2 = 2800

Utilidad Máxima = 2040

Parte b)

Se tiene una holgura de 800 respecto a la restricción del mercado.

Problema 5:

El gerente de la planta de producción de un fabricante de tubos de plástico tiene la opción de utilizar dos rutas diferentes para la fabricación de un tipo de tubo de plástico en particular.

La ruta 1 utiliza la extrusora A y la ruta 2 utiliza la extrusora B. Ambas rutas requieren el mismo proceso de fusión. La siguiente tabla muestra los requisitos de tiempo y las capacidades de estos procesos.

datos programación lineal problema 5

Cada 100 pies de tubo procesado en la ruta 1 utilizan 5 libras de materias primas, mientras que cada 100 pies de tubo producidos en la ruta 2 utilizan solamente 4 libras. Esta diferencia es el resultado de las diferentes tasas de desperdicio de cada una de las máquinas de extrusión. En consecuencia, la utilidad por 100 pies de tubo procesados en la ruta 1 es de $60 y en la ruta 2 es de $80. Hay en total 200 libras de materias primas disponibles.

  1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
  2. Aplique el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
  3. ¿Cuál es la utilidad máxima?

Solución 5:

Parte a)

Variables:




x = Número de tubos de 100 pies procesados en la ruta 1

y = Número de tubos de 100 pies procesados en la ruta 2

Función Objetivo:

Max (60x + 80y)

Restricciones:

Fusión                                                 x + y ≤ 45

Extrusora A                                        3x ≤ 90

Extrusora B                                        y ≤ 160

Materia Prima                                   5x + 4y ≤ 200

Parte b)

ejercicio 5 programación lineal método gráfico

La solución visual se encontraría en el punto A:

x = 0                      y = 45

Parte c)

La utilidad máxima se obtendría reemplazando los valores en la F.O.

60x + 80y = 60*0 + 80*45 = $3600

Problema 6:

Un fabricante de colorantes para telas puede utilizar dos rutas de procesamiento diferentes para elaborar un tipo particular de colorante. La ruta 1 utiliza la prensa secadora A y la ruta 2 usa la prensa secadora B. Ambas rutas requieren la utilización de la misma tina de mezclado para revolver los ingredientes químicos del colorante antes del secado. La siguiente tabla muestra los requisitos de tiempo y las capacidades de estos procesos:

datos programación lineal problema 6

Cada kilogramo de colorante procesado en la ruta 1 requiere 20 litros de productos químicos, en tanto que cada kilogramo de tinte procesado en la ruta 2 utiliza solamente 15 litros. La diferencia se debe a las distintas tasas de producción de las prensas secadoras. Por consiguiente, la utilidad por cada kilogramo procesado en la ruta 1 es de $50 y en la ruta 2 es de $65. Se dispone de un total de 450 litros de ingredientes químicos.

  1. Formule las restricciones y la función objetivo para maximizar las utilidades.
  2. Aplique el método gráfico de programación lineal para encontrar la solución óptima.
  3. Identifique las restricciones con holgura o superávit.

Solución 6:

Parte a)

Variables:

x = Kilogramos de colorante procesadas en la ruta 1

y = Número telas procesadas en la ruta 2

Función Objetivo:

Max (50x + 65y)

Restricciones:

Mezcla                                                 2x + 2y ≤ 54

Secadora A                                         6x ≤ 120

Secadora B                                         8y ≤ 180

Productos Químicos                        20x + 15y ≤ 450

Parte b)

ejercicio 6 programación lineal método gráfico

La solución visual se encontraría en el punto D:

x = 4.5                  y = 22.5

Utilidad Máxima = 1687.5

Parte c)

Se tiene holgura de 93h en la restricción de la secadora A y holgura de 22.5 litros en la restricción de productos químicos.

Reflexión Final

Después de resolver estos problemas, estamos seguros que estarás en mejores condiciones para rendir tus exámenes.

Recuerda que tenemos más entradas sobre Programación Lineal y puedes conocer herramientas alternativas a PHPSimplex en 4 herramientas online para resolver problemas de programación lineal.