Ejercicios resueltos de programación lineal por el método gráfico

¿Te cuesta resolver ejercicios y problemas de programación lineal con el método gráfico? Si es así, ¡has llegado al lugar adecuado! En esta entrada del blog hemos realizado una selección de diferentes ejercicios resueltos de programación lineal por el método gráfico, que incluyen casos de minimización, maximización, infinitas soluciones, no factibles y soluciones no acotadas.

Es importante que, antes de revisar los ejemplos, conozcas más sobre los aspectos teóricos de la programación lineal con nuestros artículos: cómo plantear un problema de programación lineal por el método gráfico y cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico.

Los problemas que seleccionamos fueron tomados del Suplemento E: Programación Lineal, del libro Administración de Operaciones-Procesos y cadenas de valor de Krajewski, Ritzman y Malhotra, así como algunos ejemplos encontrados navegando por internet.

Te recordamos que todos estos ejercicios y muchos más, pueden ser resueltos con nuestra calculadora del método gráfico de programación lineal. Si aún no formas parte de la membresía de Plan de Mejora y quieres conocer como funciona nuestro aplicativo, hemos incluido enlaces de muestra en cada ejercicio resuelto para que revises lo útil que es.

Ejercicio 1 – Maximización – Really Big Shoe:

The Really Big Shoe es un fabricante de calzado deportivo para básquetbol y fútbol. El gerente de marketing, Ed Sullivan, tiene que decidir la mejor forma de gastar los recursos destinados a publicidad. Cada uno de los equipos de fútbol patrocinados requiere 120 pares de zapatos. Cada equipo de básquetbol requiere 32 pares de zapatos. Los entrenadores de fútbol reciben $300,000 por concepto de patrocinio para calzado, y los entrenadores de básquetbol reciben $1,000,000. El presupuesto de Sullivan para promociones asciende a $30,000,000.

The Really Big Shoe dispone de una provisión limitada (4 litros, o sea, 4,000 centímetros cúbicos) de flubber, un compuesto raro y costoso que se utiliza en la fabricación del calzado atlético de promoción. Cada par de zapatos para básquetbol requiere 3 cc de flubber y cada par de zapatos de fútbol requiere 1 cc. Sullivan desea patrocinar el mayor número de equipos de básquetbol y fútbol que sus recursos le permitan.

1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
2. Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
3. ¿Cuál es el número máximo de cada tipo de equipo que The Really Big Shoe podrá patrocinar?

Solución 1:

a) El planteamiento del problema de programación lineal sería:

Variables:

• x = Número de equipos de futbol a patrocinar
• y = Número de equipos de básquetbol a patrocinar

Función Objetivo:

Z = Maximizar (x + y)

Restricciones:

• Presupuesto: 300,000x + 1,000,000y ≤ 30,000,000
• Flubber: 120x + 96y ≤ 4000
• No negatividad: x, y ≥ 0

b) Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

El área de color azul representa la región factible y la línea de color rojo indica la función objetivo en su punto óptimo.*

*Los mismos colores se utilizarán para todos los problemas.

En el vértice D se tiene los valores máximos:

• x = 700/57=12.28
• y = 500/19 = 26.32
• Z = 38.60

c) Dado que el número de equipos no puede ser un valor decimal consideramos los siguientes valores:

• x = 12
• y = 26

Ejercicio 2 – Minimización – Nowledge College:

Un estudiante de administración de empresas del Nowledge College necesita completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de administración tendrá que ser mayor que o igual a 23. El número de cursos ajenos al área de administración deberá ser mayor que o igual a 20. El curso de administración promedio requiere un libro de texto que cuesta $60 e implica 120 horas de estudio. Los cursos ajenos al área de administración requieren un libro de texto que cuesta $24 e implican 200 horas de estudio. El estudiante dispone de un presupuesto de $3,000 para libros.

1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
2. Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
3. ¿Con qué combinación de cursos de administración y otros ajenos a esta área se minimizaría el número total de horas de estudio?
4. Identifique las variables de holgura o superávit.

Solución 2:

a) El planteamiento del problema de programación lineal sería:

Variables:

• X = Cursos de Administración que cursará el estudiante
• Y = Cursos ajenos al área de Administración que cursará el estudiante

Función Objetivo:

Z = Minimizar (120X + 200 Y)

Restricciones:

• Cursos Necesarios para graduarse: X + Y = 65
• Cantidad de Cursos de Administración: X ≥ 23
• Cantidad de Cursos ajenos a Administración: Y ≥ 20
• Presupuesto del estudiante: 60X + 24Y ≤ 3000

b) Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

La solución visual se encontraría en el punto B:

• X = 40
• Y = 25

c) Con los valores obtenidos de X = 40, Y = 25, se minimizará las horas de estudio, teniendo como resultado 9800 horas.

d) Se tiene las variables de superávit para las restricciones respecto a la cantidad de cursos de administración (s1) y cursos ajenos a la administración (s2).

• s1 = 40 – 23 = 17
• s2 = 25 – 20 = 5

Ejercicio 3 – Minimización:

En el problema 2, suponga que el objetivo es minimizar el costo de los libros y que el tiempo total de estudio del alumno se limita a 12,600 horas.

1. Aplique el análisis gráfico para determinar la combinación de cursos que permite minimizar el costo total de los libros.
2. Identifique las variables de holgura o superávit.

Solución 3:

a) El planteamiento para este ejercicio de programación lineal sería:

Variables:

• X = Cursos de Administración que cursará el estudiante
• Y = Cursos ajenos al área de Administración que cursará el estudiante

Se modifica la función objetivo:

Z = Minimizar (60X + 24Y)

Restricciones:

• Cursos Necesarios para graduarse: X + Y = 65
• Cantidad de Cursos de Administración: X ≥ 23
• Cantidad de Cursos ajenos a Administración: Y ≥ 20
• Tiempo total de estudio: 120X + 200Y ≤ 12600

El nuevo gráfico sería:

Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

La solución visual se encuentra en el punto A:

• X = 23
• Y = 42
• Z = 2388

b) Se tiene la variable de superávit para la restriccion sobre la cantidad de cursos ajenos a la administración (s1) y la variable de holgura respecto a las horas de estudio (h1).

• s1 = 42 – 20 = 5
• h1 = 12600 – (120*23+200*42) = 1440

Ejercicio 4 – Maximización – Mile-High Microbrewery (Mezcla de Productos):

Mile-High Microbrewery fabrica una cerveza clara y una oscura. Mile-High dispone de una provisión limitada de cebada, tiene capacidad de embotellamiento limitada y un mercado también limitado para su cerveza clara. Las utilidades son de $0.20 por cada botella de cerveza clara y $0.50 por cada botella de cerveza oscura.

1. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de recursos en la Mile-High Microbrewery. Aplique el método gráfico de programación lineal para maximizar las utilidades. ¿Cuántas botellas de cada producto deberán fabricarse cada mes?
   
2. Identifique las restricciones con holgura o superávit.

Solución 4:

a) El planteamiento para este ejemplo de programación lineal es:

Variables:

• x₁ = Número de botellas de cerveza clara
• x₂ = Número de botellas de cerveza oscura

Función Objetivo:

Z = Maximizar (0.20x₁ + 0.50x₂)

Restricciones:

• Cebada: 0.1x₁ + 0.6x₂ ≤ 2000
• Embotellado: x₁ + x₂ ≤ 6000
• Mercado: x₁ ≤ 4000

Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

La solución visual se encontraría en el punto D:

• x₁ =3200
• x₂ = 2800
• Z = 2040

b) Se tiene una holgura de 800 respecto a la restricción del mercado.

Ejercicio 5 – Maximización (Fábricación de productos):

El gerente de la planta de producción de un fabricante de tubos de plástico tiene la opción de utilizar dos rutas diferentes para la fabricación de un tipo de tubo de plástico en particular.

La ruta 1 utiliza la extrusora A y la ruta 2 utiliza la extrusora B. Ambas rutas requieren el mismo proceso de fusión. La siguiente tabla muestra los requisitos de tiempo y las capacidades de estos procesos.

Cada 100 pies de tubo procesado en la ruta 1 utilizan 5 libras de materias primas, mientras que cada 100 pies de tubo producidos en la ruta 2 utilizan solamente 4 libras. Esta diferencia es el resultado de las diferentes tasas de desperdicio de cada una de las máquinas de extrusión. En consecuencia, la utilidad por 100 pies de tubo procesados en la ruta 1 es de $60 y en la ruta 2 es de $80. Hay en total 200 libras de materias primas disponibles.

1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
2. Aplique el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
3. ¿Cuál es la utilidad máxima?

Solución 5:

a) El planteamiento para este ejemplo de programación lineal es:

Variables:

• x = Número de tubos de 100 pies procesados en la ruta 1
• y = Número de tubos de 100 pies procesados en la ruta 2

Función Objetivo:

Z = Maximizar (60x + 80y)

Restricciones:

• Fusión: x + y ≤ 45
• Extrusora A: 3x ≤ 90
• Extrusora B: y ≤ 160
• Materia Prima: 5x + 4y ≤ 200

b) Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

La solución visual se encontraría en el punto B:

• x = 0
• y = 45

c) La utilidad máxima se obtendría reemplazando los valores en la función objetivo:

Z = 60x + 80y = 60*0 + 80*45 = $3600

Ejercicio 6 – Maximización (Uso de Maquinarias):

Un fabricante de colorantes para telas puede utilizar dos rutas de procesamiento diferentes para elaborar un tipo particular de colorante. La ruta 1 utiliza la prensa secadora A y la ruta 2 usa la prensa secadora B. Ambas rutas requieren la utilización de la misma tina de mezclado para revolver los ingredientes químicos del colorante antes del secado. La siguiente tabla muestra los requisitos de tiempo y las capacidades de estos procesos:

Cada kilogramo de colorante procesado en la ruta 1 requiere 20 litros de productos químicos, en tanto que cada kilogramo de tinte procesado en la ruta 2 utiliza solamente 15 litros. La diferencia se debe a las distintas tasas de producción de las prensas secadoras. Por consiguiente, la utilidad por cada kilogramo procesado en la ruta 1 es de $50 y en la ruta 2 es de $65. Se dispone de un total de 450 litros de ingredientes químicos.

1. Formule las restricciones y la función objetivo para maximizar las utilidades.
2. Aplique el método gráfico de programación lineal para encontrar la solución óptima.
3. Identifique las restricciones con holgura o superávit.

Solución 6:

a) El planteamiento del problema de programación lineal es:

Variables:

• x = Kilogramos de colorante procesadas en la ruta 1
• y = Número telas procesadas en la ruta 2

Función Objetivo:

Z = Maximizar (50x + 65y)

Restricciones:

• Mezcla: 2x + 2y ≤ 54
• Secadora A: 6x ≤ 120
• Secadora B: 8y ≤ 180
• Productos Químicos: 20x + 15y ≤ 450

b) Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

La solución visual se encontraría en el punto D:

• x = 9/2 = 4.5
• y = 45/2 = 22.5
• Z = 3375/2 = 1687.5

c) Se tiene holgura de 93h en la restricción de la secadora A y holgura de 22.5 litros en la restricción de productos químicos.

Ejercicio 7 – Solución no acotada:

Encontrar la solución óptima de la siguiente expresión utilizando el método gráfico de programación lineal:

Maximizar 2x₁ + 3x₂

sujeto a:

-x₁ + x₂ ≤ 2
x₂ ≤ 5
x₁, x₂ ≥ 0

Solución:

Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

Como se puede ver en el gráfico, el ejercicio tiene una región factible no acotada, en ese sentido para maximizar la función objetivo tenemos infinitos valores (solución no acotada).

Ejercicio 8 – Solución Múltiple:

Encontrar la solución óptima de la siguiente expresión utilizando el método gráfico de programación lineal:

Maximizar x₁ + x₂

sujeto a:

x₁ + x₂ ≤ 4
-x₁ + x₂ ≤ 1
x₁, x₂ ≥ 0

Solución:

Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

Como se puede ver en el gráfico, la función objetivo intersecta a la región factible en uno de sus lados; por lo tanto tenemos múltiples soluciones. El segmento que conforma la solución del problema también puede expresarse en función de una variable λ ∈ [0,1]. En ese sentido, el resultado final sería:

Ejercicio 8 – Solución Múltiple:

Encontrar la solución óptima de la siguiente expresión utilizando el método gráfico de programación lineal:

Maximizar x₁ + x₂

sujeto a:

x₁ + x₂ ≤ 4
-x₁ + x₂ ≤ 1
x₁, x₂ ≥ 0

Solución:

Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

Como se puede ver en el gráfico, la función objetivo intersecta a la región factible en uno de sus lados; por lo tanto tenemos múltiples soluciones. El segmento que conforma la solución del problema también puede expresarse en función de una variable λ ∈ [0,1]. En ese sentido, el resultado final sería:

Ejercicio 9 – Solución Múltiple:

Encontrar la solución óptima de la siguiente expresión utilizando el método gráfico de programación lineal:

Maximizar 2x₁ + 3x₂

sujeto a:

-x₁ + 2x₂ ≥ 2
x₁ – 5x₂ ≥ 5
x₁, x₂ ≥ 0

Solución:

Puedes ver el paso a paso de la elaboración del gráfico en este enlace.

Como se puede ver en el gráfico, las restricciones no conforman una región factible, por lo tanto el problema no tiene solución (infactible).

Reflexión Final

Después de resolver estos problemas, estamos seguros que estarás en mejores condiciones para rendir tus exámenes. También puedes guardar esta publicación como PDF utilizando la opción de imprimir o presionando Control+P y eligiendo “Guardar como PDF”.

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