Cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico
Para el administrador de operaciones, es importante conocer los diferentes métodos de solución a aplicar en programación lineal. En el presente post de Plan de Mejora, aprenderás cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico.
Antes de empezar, te recomendamos revisar nuestro post de cómo plantear un problema de programación lineal; donde abordamos los principales conceptos teóricos sobre el tema y cómo modelar matemáticamente los casos.
Te recordamos que si ya formas parte de la membresía de Plan de Mejora, tienes acceso a una variada gama de calculadoras online, incluido nuestro aplicativo de programación lineal por el método gráfico, que te explica paso a paso cómo resolver problemas con este método.
¿Qué es el método gráfico de programación lineal?
El método gráfico es una técnica que permite resolver los problemas de programación lineal de manera intuitiva y visual. Consiste en la representación geométrica de las restricciones para formar la región factible y trazar la función objetivo en el punto óptimo.
¿Cuándo se utiliza el método gráfico?
El método gráfico es muy útil para problemas de dos variables de decisión. También se puede utilizar en ejercicios de 3 variables; sin embargo, se hace más difícil visualizar la representación gráfica. Debido a la imposibilidad de ilustrar más de tres dimensiones no se puede utilizar para problemas de más de tres variables. Para problemas con mayor número de variables puedes optar por utilizar Solver (Excel) o el método simplex.
Cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico
Los pasos para resolver un problema de programación lineal por el método gráfico:
Paso 1: Plantear el problema de Programación Lineal
El paso más importante para resolver un problema de programación lineal es un correcto planteamiento matemático. En ese sentido, puedes profundizar este paso revisando nuestro artículo sobre planteamiento de problemas de programación lineal.
Paso 2: Trazar el gráfico de las restricciones
Cada una de las restricciones deben representarse en el gráfico. Para ello deben determinarse los puntos de intersección con cada eje y sombrear el área correspondiente (de ser el caso). Se debe incluir las restricciones de no negatividad.
Paso 3: Determinar la región factible
La zona que se genera de la intersección de las restricciones se conoce como región factible. Esta región puedes ser acotada o no acotada, asímismo en algunos casos las restricciones no forman ninguna región factible. Cualquier punto que se ubique dentro de esta región es una solución válida para la función objetivo.
Paso 4: Trazar la función objetivo
Dado que el método gráfico normalmente se utiliza para problemas de dos variables, la función objetivo es una recta. Una forma de graficarla es dándole un valor aleatorio como resultado y calcular su dirección en el plano.
Paso 5: Encontrar la solución visual
Debes ubicar el punto óptimo donde pasará la función objetivo dependiendo si el problema es de maximización o minimización. El punto óptimo se encontrará en uno de los vértices de la región factible.
Paso 6: Calcular las coordenadas del punto óptimo
Para calcular las coordenadas del punto óptimo, debes resolver algebraicamente el sistema de ecuaciones que generan las restricciones que cruzan el punto óptimo.
Paso 7: Determinar el valor óptimo
Finalmente reemplazamos las coordenadas calculadas en el paso anterior en la función objetivo para determinar su valor óptimo.
Ejemplo 1 – Maximizar
Una empresa fabricante de juguetes produce balones de futbol y juegos de ajedrez. Cada pelota produce una utilidad incremental de $2, cada juego de ajedrez, una de $4. La fabricación de una pelota requiere 4 horas de trabajo en el centro de maquinado A y 2 horas en el centro de maquinado B. La fabricación de un juego de ajedrez tarda 6 horas en el centro de maquinado A, 6 horas en el centro de maquinado B y 1 hora en el centro de maquinado C. El centro de maquinado A tiene un máximo de 120 horas de capacidad disponible por día, el centro de maquinado B tiene 72 horas y el centro de maquinado C tiene 10 horas.
Si la compañía quiere maximizar la utilidad, ¿Cuántas pelotas y juegos de ajedrez debe producir por día?
Solución:
Planteamiento matemático:
P = Número de pelotas a producir por día
J = Número de juegos de ajedrez a producir por día
La función objetivo sería:
Las restricciones se plantearían así:
Graficar las restricciones:
Las gráficas de las restricciones se realizan fácilmente si se le da a una variable el valor de cero, y se calcula la intersección del eje con la otra variable considerando la igualdad en la ecuación.
Vamos a presentar los gráficos correspondientes a cada una de las restricciones:
Centro de maquinado A
Primero le daremos el valor de cero a la variable P; por lo tanto, la ecuación quedaría de la siguiente forma:
Posteriormente repetiremos el procedimiento dando a la variable J el valor de cero.
Los valores obtenidos, representan la intersección con los ejes correspondientes a cada variable; quedando finalmente la gráfica de la siguiente forma:
El signo menor o igual de la ecuación, implica que las soluciones de la ecuación se encuentran en la parte inferior de la recta; es por ello que la zona se encuentra sombreada.
Centro de maquinado B
Repetiremos el procedimiento del centro de maquinado A.
Para P = 0, el valor de J será 12
Para J = 0, el valor de P será 36
El gráfico sería:
Centro de maquinado C
Para este caso, se considera directamente el valor de J = 10 para cualquier valor de P; quedando la gráfica de la siguiente forma:
No negatividad
Hace referencia a que los valores de P y J son sólo positivos; por lo tanto, las soluciones factibles estarían sólo en el primer cuadrante.
Se puede representar gráficamente de la siguiente forma:
Determinar la región factible:
Para determinar la región factible se superponen todas las gráficas realizadas; siendo la intersección de todas ellas la región factible.
En nuestro ejemplo tendríamos lo siguiente:
Cómo te podrás dar cuenta, la figura formada es un polígono convexo. Este detalle es importante debido a que si el gráfico no tuviera esa convexidad, probablemente el problema esté mal planteado o no se pueda resolver mediante programación lineal. Si quieres conocer más sobre los polígonos convexos puedes revisar este link.
Trazar la función objetivo:
A diferencia de las ecuaciones de restricciones, en la función objetivo no tenemos un valor al que igualar, para determinar las intersecciones con el eje. Lo que realizaremos será asignarle un valor cualquiera al resultado de la ecuación y realizar la gráfica correspondiente. Así, por ejemplo, le asignaremos valor de 60:
Para P = 0, el valor de J será 15
Para J = 0, el valor de P será 30
La gráfica quedaría de la siguiente forma:
A partir de la gráfica de esta línea podemos trazar una serie de líneas paralelas a ella; las cuales representan todos los resultados que se pueden obtener de esa función.
Mientras más alejada se encuentre la línea, del centro del cuadrante, el valor de la utilidad será mayor.
Encontrar la solución visual:
Ahora unimos los gráficos de la región factible con las rectas de la función objetivo. Se trazarán rectas de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible:
El punto donde se intersecte el vértice de la región factible, con la recta de la función objetivo más alejada del cuadrante, representa la solución al problema de programación lineal.
Calcular las coordenadas del punto óptimo
Para calcular las coordenadas del punto óptimo, resolveremos el sistema de ecuaciones conformado por las rectas que se intersectan:
Resolviendo el sistema, obtenemos que el valor de P=24 y de J=4.
Por lo tanto, la empresa debe producir 24 pelotas y 4 juegos de ajedrez para maximizar su utilidad.
Determinar el valor óptimo
Para obtenerla reemplazamos los valores calculados en la función objetivo:
La máxima utilidad que obtendría la empresa sería de $64.
Ejemplo 2 – Minimizar
Un estudiante de administración de empresas necesita completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de administración tendrá que ser mayor que o igual a 23. El número de cursos ajenos al área de administración deberá ser mayor que o igual a 20. El curso de administración promedio requiere un libro de texto que cuesta $60 e implica 120 horas de estudio. Los cursos ajenos al área de administración requieren un libro de texto que cuesta $24 e implican 200 horas de estudio. El estudiante dispone de un presupuesto de $3,000 para libros.
- Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
- Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
- ¿Con qué combinación de cursos de administración y otros ajenos a esta área se minimizaría el número total de horas de estudio?
Solución:
Planteamiento matemático:
X = Cursos de Administración que cursará el estudiante
Y = Cursos ajenos al área de Administración que cursará el estudiante
La función objetivo sería:
Las restricciones se plantearían así:
Graficar las restricciones:
En este caso la región factible sólo corresponde a la línea roja de la gráfica; esto se debe a que tenemos una restricción obligatoria (Cursos necesarios para graduarse) con signo igual.
Trazar la función objetivo:
A continuación, se muestra la secuencia de líneas paralelas que se forman con la función objetivo. Como el problema busca minimizar la función objetivo, buscaremos la recta más cercana al eje:
Encontrar la solución visual:
Trazamos las funciones objetivo por ambos puntos del segmento que corresponde a la “región factible”.
Como el problema es de minimización, entonces la recta mas cercana al origen del cuadrante representa la solución visual.
Calcular las coordenadas del punto óptimo:
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Resolviendo el sistema, obtenemos que el valor de X=40 y de Y=25.
Por lo tanto, el estudiante debe elegir 40 cursos de administración y 25 cursos ajenos al área de administración.
Determinar el valor óptimo
La mínima cantidad de horas de estudio sería:
Puedes encontrar más ejemplos solucionados en nuestro artículo de ejercicios resueltos de programación lineal con el método gráfico.
Reflexión final:
Aunque resolver un problema de programación lineal con el método gráfico, puede resultar trabajoso y limitado a problemas de 2 variables; nos brinda una idea más clara de la forma en que esta metodología busca las soluciones óptimas a los problemas; por lo tanto, se convierte en un tema importante para el conocimiento del administrador de operaciones.
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Referencias:
- Krajewski, L., Ritzman, L. & Malhotra M, (2008). Administración de Operaciones. Procesos y Cadena de Valor (Octava ed.). Mexico, D.F.: Pearson Educación.
- Chase, R. & Jacobs, F. (2014). Administración de operaciones. Producción y cadena de suministro (Decimotercera ed.). Mexico, D.F.: McGraw-Hill.
