Para el administrador de operaciones, es importante conocer los diferentes métodos de solución a aplicar en programación lineal. En el presente post de Plan de Mejora, aprenderás cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico.

cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico

Antes de empezar, te recomendamos revisar nuestro post de cómo plantear un problema de programación lineal; donde abordamos algunos conceptos teóricos sobre el tema y cómo modelar matemáticamente los casos. El método gráfico se utiliza para resolver problemas de programación lineal de dos variables. No es una técnica práctica para resolver los problemas que tienen tres o más variables de decisión. Si quieres aprender a resolver problemas de tres o más variables puedes ver nuestro post cómo resolver un problema de programación lineal con Solver-Excel 2016 o nuestra entrada de cómo resolver problemas con el método simplex paso a paso. También te invitamos a revisar nuestro post 4 herramientas online para resolver problemas de programación lineal.

Para aplicar este método, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Plantear el problema en términos matemáticos (Ver más detalles sobre este punto en este link)
  2. Trazar el gráfico de las de las restricciones.
  3. Determinar la región factible.
  4. Trazar la función objetivo.
  5. Encontrar la solución visual.
  6. Calcular la solución algebraica.





La explicación de cada uno de los pasos lo realizaremos directamente con los ejercicios resueltos:

Ejemplo 1 – Maximizar

Una empresa fabricante de juguetes produce balones de futbol y juegos de ajedrez. Cada pelota produce una utilidad incremental de $2, cada juego de ajedrez, una de $4. La fabricación de una pelota requiere 4 horas de trabajo en el centro de maquinado A y 2 horas en el centro de maquinado B. La fabricación de un juego de ajedrez tarda 6 horas en el centro de maquinado A, 6 horas en el centro de maquinado B y 1 hora en el centro de maquinado C. El centro de maquinado A tiene un máximo de 120 horas de capacidad disponible por día, el centro de maquinado B tiene 72 horas y el centro de maquinado C tiene 10 horas.

Si la compañía quiere maximizar la utilidad, ¿Cuántas pelotas y juegos de ajedrez debe producir por día?

Solución:

 

Planteamiento matemático:

P = Número de pelotas a producir por día

J = Número de juegos de ajedrez a producir por día

La función objetivo sería:

maximizar utilidad

Las restricciones se plantearían así:

ecuaciones de restricciones

Graficar las restricciones:

Las gráficas de las restricciones se realizan fácilmente si se le da a una variable el valor de cero, y se calcula la intersección del eje con la otra variable considerando la igualdad en la ecuación.

Vamos a presentar los gráficos correspondientes a cada una de las restricciones:

Centro de maquinado A

Primero le daremos el valor de cero a la variable P; por lo tanto, la ecuación quedaría de la siguiente forma:

interseccion 1

Posteriormente repetiremos el procedimiento dando a la variable J el valor de cero.

interseccion 2

Los valores obtenidos, representan la intersección con los ejes correspondientes a cada variable; quedando finalmente la gráfica de la siguiente forma:

cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico

El signo menor o igual de la ecuación, implica que las soluciones de la ecuación se encuentran en la parte inferior de la recta; es por ello que la zona se encuentra sombreada.

Centro de maquinado B

Repetiremos el procedimiento del centro de maquinado A.

Para P = 0, el valor de J será 12

Para J = 0, el valor de P será 36

El gráfico sería:

cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico

Centro de maquinado C

Para este caso, se considera directamente el valor de J = 10 para cualquier valor de P; quedando la gráfica de la siguiente forma:

cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico

No negatividad

Hace referencia a que los valores de P y J son sólo positivos; por lo tanto, las soluciones factibles estarían sólo en el primer cuadrante.

Se puede representar gráficamente de la siguiente forma:

cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico

Determinar la región factible:

Para determinar la región factible se superponen todas las gráficas realizadas; siendo la intersección de todas ellas la región factible.

En nuestro ejemplo tendríamos lo siguiente:

cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico

Cómo te podrás dar cuenta, la figura formada es un polígono convexo. Este detalle es importante debido a que si el gráfico no tuviera esa convexidad, probablemente el problema esté mal planteado o no se pueda resolver mediante programación lineal. Si quieres conocer más sobre los polígonos convexos puedes revisar este link.

Trazar la función objetivo:

A diferencia de las ecuaciones de restricciones, en la función objetivo no tenemos un valor al que igualar, para determinar las intersecciones con el eje. Lo que realizaremos será asignarle un valor cualquiera al resultado de la ecuación y realizar la gráfica correspondiente. Así, por ejemplo, le asignaremos valor de 60:

Para P = 0, el valor de J será 15

Para J = 0, el valor de P será 30

La gráfica quedaría de la siguiente forma:

cómo resolver problemas de programación lineal por el método gráfico

A partir de la gráfica de esta línea podemos trazar una serie de líneas paralelas a ella; las cuales representan todos los resultados que se pueden obtener de esa función.

funcion objetivo paralelas

Mientras más alejada se encuentre la línea, del centro del cuadrante, el valor de la utilidad será mayor.

Encontrar la solución visual:

Ahora unimos los gráficos de la región factible con las rectas de la función objetivo. Se trazarán rectas de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible:

solución visual 1

El punto donde se intersecte el vértice de la región factible, con la recta de la función objetivo más alejada del cuadrante, representa la solución al problema de programación lineal.

Calcular la solución algebraica:

Para calcular las coordenadas de la solución, resolvemos el sistema de ecuaciones conformado por las rectas que se intersectan:

sistema de ecuaciones

Resolviendo el sistema, obtenemos que el valor de P=24 y de J=4.

Por lo tanto, la empresa debe producir 24 pelotas y 4 juegos de ajedrez para maximizar su utilidad.

¿Y cuál sería esa máxima utilidad?

Para obtenerla reemplazamos los valores calculados en la función objetivo:

máxima utilidad

La máxima utilidad que obtendría la empresa sería de $64.

Ejemplo 2 – Minimizar

Un estudiante de administración de empresas necesita completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de administración tendrá que ser mayor que o igual a 23. El número de cursos ajenos al área de administración deberá ser mayor que o igual a 20. El curso de administración promedio requiere un libro de texto que cuesta $60 e implica 120 horas de estudio. Los cursos ajenos al área de administración requieren un libro de texto que cuesta $24 e implican 200 horas de estudio. El estudiante dispone de un presupuesto de $3,000 para libros.



  1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
  2. Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
  3. ¿Con qué combinación de cursos de administración y otros ajenos a esta área se minimizaría el número total de horas de estudio?

Solución:

 

Artículos Relacionados  Cómo resolver un problema de programación lineal con Solver-Excel 2016

Planteamiento matemático:

X = Cursos de Administración que cursará el estudiante

Y = Cursos ajenos al área de Administración que cursará el estudiante

La función objetivo sería:

minimizar horas de estudio

Las restricciones se plantearían así:

restricciones 2

Graficar las restricciones:

En este caso la región factible sólo corresponde a la línea roja de la gráfica; esto se debe a que tenemos una restricción obligatoria (Cursos necesarios para graduarse) con signo igual.

region factible 2

Trazar la función objetivo:

A continuación, se muestra la secuencia de líneas paralelas que se forman con la función objetivo. Como el problema busca minimizar la función objetivo, buscaremos la recta más cercana al eje:

funcion objetivo

Encontrar la solución visual:

Trazamos las funciones objetivo por ambos puntos del segmento que corresponde a la “región factible”.

solución visual 2

Como el problema es de minimización, entonces la recta mas cercana al origen del cuadrante representa la solución visual.

Calcular la solución algebraica:

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

sist ecuaciones 2

Resolviendo el sistema, obtenemos que el valor de X=40 y de Y=25.

Por lo tanto, el estudiante debe elegir 40 cursos de administración y 25 cursos ajenos al área de administración.

La mínima cantidad de horas de estudio sería:

sol min 2

Reflexión final:

Aunque resolver un problema de programación lineal, con el método gráfico, puede resultar trabajoso y limitado a problemas de 2 variables; nos brinda una idea más clara de la forma en que esta metodología busca las soluciones óptimas a los problemas; por lo tanto, se convierte en un tema importante para el conocimiento del administrador de operaciones.

Si tienes alguna duda respecto a esta metodología, puedes dejarla en la sección de comentarios. No te olvides de compartir en tus redes sociales para que tus compañeros también puedan comprender mejor el método gráfico. Recuerda que Plan de Mejora es el mejor lugar para aprender, emprender y mejorar.

PD: Para realizar los gráficos utilizamos la aplicación online Geogebra.


Referencias:

  • Krajewski, L., Ritzman, L. & Malhotra M, (2008). Administración de Operaciones. Procesos y Cadena de Valor (Octava ed.). Mexico, D.F.: Pearson Educación.
    Disponible en: Casa del Libro y Amazon
  • Chase, R. & Jacobs, F. (2014). Administración de operaciones. Producción y cadena de suministro (Decimotercera ed.). Mexico, D.F.: McGraw-Hill.