Ejemplos de la Desviación Estándar – Ejercicios Resueltos paso a paso

La desviación estándar, también conocida como desviación típica, es una medida estadística de la variabilidad o dispersión de un conjunto de datos. Es un concepto importante en probabilidad y estadística, por lo tanto es importante saber calcularla. Es así que en este artículo hemos recopilado una lista de ejemplos resueltos paso a paso para calcular la desviación estándar.

Ejemplos Desviación Estándar

En los ejemplos que resolveremos hemos incluido ejercicios de la desviación estándar poblacional y desviación estándar muestral. Para obtener los resultados, utilizamos nuestra calculadora en línea de la desviación estándar que te muestra paso a paso cómo realizar los cálculos.

Cómo recordatorio, te mostramos las fórmulas para obtener la desviación típica:

a) Desviación estándar poblacional:

fórmula desviación estándar poblacional

b) Desviación estándar muestral:

fórmula desviación estándar muestral

Donde:

  • σ: Desviación estándar Poblacional.
  • s: Desviación estándar Muestral.
  • : Media.
  • N: Cantidad de valores evaluados.
  • xi: Cada uno de los valores.

Ejercicio 1:

Un profesor enseña a dos grandes grupos de introducción al marketing y selecciona aleatoriamente una muestra de calificaciones de los exámenes realizados por los dos grupos. Halle la desviación típica de cada muestra:

  • Grupo 1: 50, 60, 70, 80, 90
  • Grupo 2: 72, 68, 70, 74, 66

Solución 1:

Grupo 1:

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

  • Datos = 50, 60, 70, 80, 90
  • Σxᵢ = 350
  • N = 5
  •  = 350/5 = 70
xi xi – x̄ (xi – x̄)2
50 -20 400
60 -10 100
70 0 0
80 10 100
90 20 400
Σxᵢ = 350 x̄ = 350/5 = 70 Σ(xᵢ – x̄)² = 1000

Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:

ejemplos desviacion estandar

Grupo 2:

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

  • Datos = 72, 68, 70, 74, 66
  • Σxᵢ = 350
  • N = 5
  •  = 350/5 = 70
xi xi – x̄ (xi – x̄)2
72 2 4
68 -2 4
70 0 0
74 4 16
66 -4 16
Σxᵢ = 350 x̄ = 350/5 = 70 Σ(xᵢ – x̄)² = 40

Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:

ejercicios resueltos desviacion estandar

Ejercicio 2:

Vanesa y Jimena Mora, dueñas de una tienda de fotografía, están considerando la posibilidad de invertir en el activo A o en el B. No saben cuál de los dos es mejor y le piden consejo a Sara Nieves, planificadora financiera. Los valores de las tasas de rendimiento de las opciones son:

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ejemplos de desviacion estandar

¿Cuál es la alternativa más arriesgada?

Solución 2:

Si bien ambas opciones tienen la misma tasa media de rendimiento en los últimos 5 años, es necesario determinar la variabilidad de dicha tasa. Para ello, la desviación estándar es el indicador más frecuente para determinar el riesgo de un activo. En ese caso se calculará la desviación típica para ambas opciones:

Activo A:

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

  • Datos = 11.3, 12.5, 13, 12, 12.2
  • Σxᵢ = 61
  • N = 5
  •  = 61/5 = 12.2
xi xi – x̄ (xi – x̄)2
11.3 -0.9 0.81
12.5 0.3 0.09
13 0.8 0.64
12 -0.2 0.04
12.2 0 0
Σxᵢ = 61 x̄ = 61/5 = 12.2 Σ(xᵢ – x̄)² = 1.58

Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:

ejercicios de desviacion estandar

Activo B:

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

  • Datos = 9.4, 17.1, 13.3, 10, 11.2
  • Σxᵢ = 61
  • N = 5
  •  = 61/5 = 12.2
xi xi – x̄ (xi – x̄)2
9.4 -2.8 7.84
17.1 4.9 24.01
13.3 1.1 1.21
10 -2.2 4.84
11.2 -1 1
Σxᵢ = 61 x̄ = 61/5 = 12.2 Σ(xᵢ – x̄)² = 38.9

Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:

desviacion estandar ejercicios resueltos

De los resultados obtenidos, se aprecia que la alternativa B es una inversión más arriesgada.

Ejercicio 3:

El tiempo (en segundos) que tardaron todos los empleados del área de producción en realizar una tarea es:

23 35 14 37 28 45
12 40 27 13 26 25
37 20 29 49 40 13
27 16 40 20 13 66

Calcular la desviación estándar

Solución 3:

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

  • Σxᵢ = 695
  • N = 24
  •  = 695/24 = 28.9583
xi xi – x̄ (xi – x̄)2
23 -5.9583 35.5013
35 6.0417 36.5021
14 -14.9583 223.7507
37 8.0417 64.6689
28 -0.9583 0.9183
45 16.0417 257.3361
12 -16.9583 287.5839
40 11.0417 121.9191
27 -1.9583 3.8349
13 -15.9583 254.6673
26 -2.9583 8.7515
25 -3.9583 15.6681
37 8.0417 64.6689
20 -8.9583 80.2511
29 0.0417 0.0017
49 20.0417 401.6697
40 11.0417 121.9191
13 -15.9583 254.6673
27 -1.9583 3.8349
16 -12.9583 167.9175
40 11.0417 121.9191
20 -8.9583 80.2511
13 -15.9583 254.6673
66 37.0417 1372.0875
Σxᵢ = 695 x̄ = 695/24 = 28.9583 Σ(xᵢ – x̄)² = 4234.9574
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Finalmente calculamos la desviación estándar poblacional:

desviacion estandar formula ejemplo

Puedes ver la solución con la calculadora en este enlace.

Ejercicio 4:

Un maestro quiere saber si la mayoría de los estudiantes se están desempeñando al mismo nivel o si hay una desviación estándar alta, para lo cual tomó un examen sorpresa con los siguientes resultados: 85, 86, 100, 76, 81, 93, 84, 99, 71, 69, 93, 85, 81, 87 y 89.

Solución 4:

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

  • Σxᵢ = 1279
  • N = 15
  •  = 1279/15 = 85.2667
xi xi – x̄ (xi – x̄)2
85 -0.2667 0.0711
86 0.7333 0.5377
100 14.7333 217.0701
76 -9.2667 85.8717
81 -4.2667 18.2047
93 7.7333 59.8039
84 -1.2667 1.6045
99 13.7333 188.6035
71 -14.2667 203.5387
69 -16.2667 264.6055
93 7.7333 59.8039
85 -0.2667 0.0711
81 -4.2667 18.2047
87 1.7333 3.0043
89 3.7333 13.9375
Σxᵢ = 1279 x̄ = 1279/15 = 85.2667 Σ(xᵢ – x̄)² = 1134.9329

Finalmente calculamos la desviación estándar poblacional:

desviacion tipica ejemplos

Puedes ver la solución con la calculadora en este enlace.

Ejercicio 5:

Un investigador de mercado está analizando los resultados de una encuesta reciente a clientes para calificar un producto del 1 al 10. Quiere tener alguna medida de la confiabilidad de las respuestas recibidas en la encuesta para predecir cómo un grupo más grande de personas podría responder a las mismas preguntas. Las puntuaciones de la encuesta son 9, 7, 10, 8, 9, 7, 8 y 9. Calcular la desviación típica.

Solución 5:

De acuerdo a los datos del problema tenemos:

  • Σxᵢ = 67
  • N = 8
  •  = 67/8 = 8.375
xi xi – x̄ (xi – x̄)2
9 0.625 0.3906
7 -1.375 1.8906
10 1.625 2.6406
8 -0.375 0.1406
9 0.625 0.3906
7 -1.375 1.8906
8 -0.375 0.1406
9 0.625 0.3906
Σxᵢ = 67 x̄ = 67/8 = 8.375 Σ(xᵢ – x̄)² = 7.8748

Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:

ejemplos de desviacion tipica

Puedes ver la solución con la calculadora en este enlace.

Reflexión Final

En resumen, la desviación estándar es una medida matemática de cuánta variación o «dispersión» hay respecto a la media en un conjunto de datos. En ese sentido, con los ejemplos que hemos resuelto en este artículo, puedes entender de mejor manera su uso en situaciones de la vida real.

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