Ejemplos de la Desviación Estándar – Ejercicios Resueltos paso a paso
La desviación estándar, también conocida como desviación típica, es una medida estadística de la variabilidad o dispersión de un conjunto de datos. Es un concepto importante en probabilidad y estadística, por lo tanto es importante saber calcularla. Es así que en este artículo hemos recopilado una lista de ejemplos resueltos paso a paso para calcular la desviación estándar.
En los ejemplos que resolveremos hemos incluido ejercicios de la desviación estándar poblacional y desviación estándar muestral. Para obtener los resultados, utilizamos nuestra calculadora en línea de la desviación estándar que te muestra paso a paso cómo realizar los cálculos.
Cómo recordatorio, te mostramos las fórmulas para obtener la desviación típica:
a) Desviación estándar poblacional:
b) Desviación estándar muestral:
Donde:
- σ: Desviación estándar Poblacional.
- s: Desviación estándar Muestral.
- x̄: Media.
- N: Cantidad de valores evaluados.
- xi: Cada uno de los valores.
Ejercicio 1:
Un profesor enseña a dos grandes grupos de introducción al marketing y selecciona aleatoriamente una muestra de calificaciones de los exámenes realizados por los dos grupos. Halle la desviación típica de cada muestra:
- Grupo 1: 50, 60, 70, 80, 90
- Grupo 2: 72, 68, 70, 74, 66
Solución 1:
Grupo 1:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Datos = 50, 60, 70, 80, 90
- Σxᵢ = 350
- N = 5
- x̄ = 350/5 = 70
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 50 | -20 | 400 |
| 60 | -10 | 100 |
| 70 | 0 | 0 |
| 80 | 10 | 100 |
| 90 | 20 | 400 |
| Σxᵢ = 350 | x̄ = 350/5 = 70 | Σ(xᵢ – x̄)² = 1000 |
Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:
Grupo 2:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Datos = 72, 68, 70, 74, 66
- Σxᵢ = 350
- N = 5
- x̄ = 350/5 = 70
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 72 | 2 | 4 |
| 68 | -2 | 4 |
| 70 | 0 | 0 |
| 74 | 4 | 16 |
| 66 | -4 | 16 |
| Σxᵢ = 350 | x̄ = 350/5 = 70 | Σ(xᵢ – x̄)² = 40 |
Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:
Ejercicio 2:
Vanesa y Jimena Mora, dueñas de una tienda de fotografía, están considerando la posibilidad de invertir en el activo A o en el B. No saben cuál de los dos es mejor y le piden consejo a Sara Nieves, planificadora financiera. Los valores de las tasas de rendimiento de las opciones son:
¿Cuál es la alternativa más arriesgada?
Solución 2:
Si bien ambas opciones tienen la misma tasa media de rendimiento en los últimos 5 años, es necesario determinar la variabilidad de dicha tasa. Para ello, la desviación estándar es el indicador más frecuente para determinar el riesgo de un activo. En ese caso se calculará la desviación típica para ambas opciones:
Activo A:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Datos = 11.3, 12.5, 13, 12, 12.2
- Σxᵢ = 61
- N = 5
- x̄ = 61/5 = 12.2
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 11.3 | -0.9 | 0.81 |
| 12.5 | 0.3 | 0.09 |
| 13 | 0.8 | 0.64 |
| 12 | -0.2 | 0.04 |
| 12.2 | 0 | 0 |
| Σxᵢ = 61 | x̄ = 61/5 = 12.2 | Σ(xᵢ – x̄)² = 1.58 |
Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:
Activo B:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Datos = 9.4, 17.1, 13.3, 10, 11.2
- Σxᵢ = 61
- N = 5
- x̄ = 61/5 = 12.2
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 9.4 | -2.8 | 7.84 |
| 17.1 | 4.9 | 24.01 |
| 13.3 | 1.1 | 1.21 |
| 10 | -2.2 | 4.84 |
| 11.2 | -1 | 1 |
| Σxᵢ = 61 | x̄ = 61/5 = 12.2 | Σ(xᵢ – x̄)² = 38.9 |
Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:
De los resultados obtenidos, se aprecia que la alternativa B es una inversión más arriesgada.
Ejercicio 3:
El tiempo (en segundos) que tardaron todos los empleados del área de producción en realizar una tarea es:
23 35 14 37 28 45
12 40 27 13 26 25
37 20 29 49 40 13
27 16 40 20 13 66
Calcular la desviación estándar
Solución 3:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Σxᵢ = 695
- N = 24
- x̄ = 695/24 = 28.9583
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 23 | -5.9583 | 35.5013 |
| 35 | 6.0417 | 36.5021 |
| 14 | -14.9583 | 223.7507 |
| 37 | 8.0417 | 64.6689 |
| 28 | -0.9583 | 0.9183 |
| 45 | 16.0417 | 257.3361 |
| 12 | -16.9583 | 287.5839 |
| 40 | 11.0417 | 121.9191 |
| 27 | -1.9583 | 3.8349 |
| 13 | -15.9583 | 254.6673 |
| 26 | -2.9583 | 8.7515 |
| 25 | -3.9583 | 15.6681 |
| 37 | 8.0417 | 64.6689 |
| 20 | -8.9583 | 80.2511 |
| 29 | 0.0417 | 0.0017 |
| 49 | 20.0417 | 401.6697 |
| 40 | 11.0417 | 121.9191 |
| 13 | -15.9583 | 254.6673 |
| 27 | -1.9583 | 3.8349 |
| 16 | -12.9583 | 167.9175 |
| 40 | 11.0417 | 121.9191 |
| 20 | -8.9583 | 80.2511 |
| 13 | -15.9583 | 254.6673 |
| 66 | 37.0417 | 1372.0875 |
| Σxᵢ = 695 | x̄ = 695/24 = 28.9583 | Σ(xᵢ – x̄)² = 4234.9574 |
Finalmente calculamos la desviación estándar poblacional:
Puedes ver la solución con la calculadora en este enlace.
Ejercicio 4:
Un maestro quiere saber si la mayoría de los estudiantes se están desempeñando al mismo nivel o si hay una desviación estándar alta, para lo cual tomó un examen sorpresa con los siguientes resultados: 85, 86, 100, 76, 81, 93, 84, 99, 71, 69, 93, 85, 81, 87 y 89.
Solución 4:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Σxᵢ = 1279
- N = 15
- x̄ = 1279/15 = 85.2667
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 85 | -0.2667 | 0.0711 |
| 86 | 0.7333 | 0.5377 |
| 100 | 14.7333 | 217.0701 |
| 76 | -9.2667 | 85.8717 |
| 81 | -4.2667 | 18.2047 |
| 93 | 7.7333 | 59.8039 |
| 84 | -1.2667 | 1.6045 |
| 99 | 13.7333 | 188.6035 |
| 71 | -14.2667 | 203.5387 |
| 69 | -16.2667 | 264.6055 |
| 93 | 7.7333 | 59.8039 |
| 85 | -0.2667 | 0.0711 |
| 81 | -4.2667 | 18.2047 |
| 87 | 1.7333 | 3.0043 |
| 89 | 3.7333 | 13.9375 |
| Σxᵢ = 1279 | x̄ = 1279/15 = 85.2667 | Σ(xᵢ – x̄)² = 1134.9329 |
Finalmente calculamos la desviación estándar poblacional:
Puedes ver la solución con la calculadora en este enlace.
Ejercicio 5:
Un investigador de mercado está analizando los resultados de una encuesta reciente a clientes para calificar un producto del 1 al 10. Quiere tener alguna medida de la confiabilidad de las respuestas recibidas en la encuesta para predecir cómo un grupo más grande de personas podría responder a las mismas preguntas. Las puntuaciones de la encuesta son 9, 7, 10, 8, 9, 7, 8 y 9. Calcular la desviación típica.
Solución 5:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Σxᵢ = 67
- N = 8
- x̄ = 67/8 = 8.375
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 9 | 0.625 | 0.3906 |
| 7 | -1.375 | 1.8906 |
| 10 | 1.625 | 2.6406 |
| 8 | -0.375 | 0.1406 |
| 9 | 0.625 | 0.3906 |
| 7 | -1.375 | 1.8906 |
| 8 | -0.375 | 0.1406 |
| 9 | 0.625 | 0.3906 |
| Σxᵢ = 67 | x̄ = 67/8 = 8.375 | Σ(xᵢ – x̄)² = 7.8748 |
Finalmente calculamos la desviación estándar muestral:
Puedes ver la solución con la calculadora en este enlace.
Reflexión Final
En resumen, la desviación estándar es una medida matemática de cuánta variación o “dispersión” hay respecto a la media en un conjunto de datos. En ese sentido, con los ejemplos que hemos resuelto en este artículo, puedes entender de mejor manera su uso en situaciones de la vida real.
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