Ejemplos de la varianza estadística – Ejercicios Resueltos paso a paso
La varianza es uno de los conceptos más importantes en la estadística y es de aprendizaje obligatorio para todos los profesionales relacionados con la gestión empresarial. Es por ello que en este artículo te presentamos ejemplos resueltos de la varianza estadística con explicaciones paso a paso.
En los ejemplos que solucionaremos se han incluido ejercicios sobre la varianza poblacional y muestral. Los resultados de los problemas se han obtenido utilizando nuestra calculadora online de la varianza.
Antes de iniciar, te recordamos las fórmulas para calcular la varianza:
a) Varianza Poblacional:
b) Varianza Muestral:
Donde:
- σ2: Varianza Poblacional.
- s2: Varianza Muestral.
- x̄: Media.
- N: Cantidad de valores evaluados.
- xi: Cada uno de los valores.
Ejercicio 1:
Calcule la varianza de los siguientes datos muestrales: 6, 8, 7, 10, 3, 5, 9, 8
Solución 1:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Σxᵢ = 56
- N = 8
- x̄ = 56/8 = 7
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 6 | -1 | 1 |
| 8 | 1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 10 | 3 | 9 |
| 3 | -4 | 16 |
| 5 | -2 | 4 |
| 9 | 2 | 4 |
| 8 | 1 | 1 |
| Σxᵢ = 56 | x̄ = 56/8 = 7 | Σ(xᵢ – x̄)² = 36 |
Finalmente calculamos la varianza muestral:
Ejercicio 2:
Un grupo de amigos miden la altura de sus perros (en milímetros):
Las alturas (hasta los hombros) son: 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm y 300 mm. Calcule la varianza.
Solución 2:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Σxᵢ = 1970
- N = 5
- x̄ = 1970/5 = 394
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 600 | 206 | 42436 |
| 470 | 76 | 5776 |
| 170 | -224 | 50176 |
| 430 | 36 | 1296 |
| 300 | -94 | 8836 |
| Σxᵢ = 1970 | x̄ = 1970/5 = 394 | Σ(xᵢ – x̄)² = 108520 |
Finalmente calculamos la varianza poblacional:
Ejercicio 3:
Los rendimientos porcentuales anuales de las letras del Tesoro de Estados Unidos fueron los siguientes: 6.5%, 4.4%, 3.8%, 6.9%, 8.0%, 5.8%, 5.1%. Calcule la varianza muestral:
Solución 3:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Σxᵢ = 40.5
- N = 7
- x̄ = 40.5/7 = 5.7857
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 6.5 | 0.7143 | 0.5102 |
| 4.4 | -1.3857 | 1.9202 |
| 3.8 | -1.9857 | 3.943 |
| 6.9 | 1.1143 | 1.2417 |
| 8 | 2.2143 | 4.9031 |
| 5.8 | 0.0143 | 0.0002 |
| 5.1 | -0.6857 | 0.4702 |
| Σxᵢ = 40.5 | x̄ = 40.5/7 = 5.7857 | Σ(xᵢ – x̄)² = 12.9886 |
Finalmente calculamos la varianza muestral:
Ejercicio 4:
Encuentre la varianza para la siguiente muestra: 12, 13, 24, 24, 25, 26, 34, 35, 38, 45, 46, 52, 53, 78, 78, 89
Solución 4:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Σxᵢ = 672
- N = 16
- x̄ = 672/16 = 42
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 12 | -30 | 900 |
| 13 | -29 | 841 |
| 24 | -18 | 324 |
| 24 | -18 | 324 |
| 25 | -17 | 289 |
| 26 | -16 | 256 |
| 34 | -8 | 64 |
| 35 | -7 | 49 |
| 38 | -4 | 16 |
| 45 | 3 | 9 |
| 46 | 4 | 16 |
| 52 | 10 | 100 |
| 53 | 11 | 121 |
| 78 | 36 | 1296 |
| 78 | 36 | 1296 |
| 89 | 47 | 2209 |
| Σxᵢ = 672 | x̄ = 672/16 = 42 | Σ(xᵢ – x̄)² = 8110 |
Finalmente calculamos la varianza muestral:
Puedes ver la solución con la calculadora en este enlace.
Ejercicio 5:
Halla la varianza de las temperaturas medias registradas durante un periodo de cinco días del pasado invierno: 18, 22, 19, 25, 12.
Solución 5:
De acuerdo a los datos del problema tenemos:
- Σxᵢ = 96
- N = 5
- x̄ = 96/5 = 19.2
| xi | xi – x̄ | (xi – x̄)2 |
|---|---|---|
| 18 | -1.2 | 1.44 |
| 22 | 2.8 | 7.84 |
| 19 | -0.2 | 0.04 |
| 25 | 5.8 | 33.64 |
| 12 | -7.2 | 51.84 |
| Σxᵢ = 96 | x̄ = 96/5 = 19.2 | Σ(xᵢ – x̄)² = 94.8 |
Finalmente calculamos la varianza muestral:
Reflexión Final
Como hemos visto a lo largo de los ejemplos, obtener la varianza no es complicado, por el contrario, puedes aprender a calcularlo siguiendo cada uno de los pasos mostrados. Para poder llevar estos ejemplos siempre contigo puedes guardarlo en tu archivo como pdf con la opción de Imprimir (Ctrl+P).
Te recordamos que si quieres practicar en el cálculo de la desviación estándar, puedes visitar nuestro artículo de ejemplos de la desviación típica.
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