Ejercicio Resuelto del Método Simplex 🥇 The Gutchi Company

Gutchi Company fabrica bolsos de mano, bolsos para rasuradora y mochilas. La elaboración incluye piel y materiales sintéticos, y la piel es la materia prima escasa. El proceso de producción requiere dos tipos de mano de obra calificada: costura y acabado. La siguiente tabla da la disponibilidad de los recursos, su consumo por los tres productos y las utilidades por unidad.

REQUERIMIENTOS DE RECURSOS POR UNIDAD
Recurso	Bolsos de Mano	Bolsos para rasuradora	Mochila	Disponibilidad diaria
Piel (pies²)	2	1	3	42 pies²
Costura (h)	2	1	2	40 h
Acabado (h)	1	0.5	1	45 h
Precio de venta ($)	24	22	45

Formule el problema como un programa lineal, y halle la solución óptima.
A partir de la solución óptima, determine el estado de cada recurso.

Solución

a. El planteamiento del problema sería:

Maximizar Z=24x₁+22x₂+45x₃

Sujeto a:

2x₁+x₂+3x₃≤42

2x₁+x₂+2x₃≤40

x₁+0.5x₂+x₃≤45

x₁, x₂, x₃≥0

Para resolver el problema por el método simplex utilizaremos la versión de membresía de nuestra calculadora de programación lineal:

El problema se adecuará al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones:

Restricción 1: Tiene signo “≤” (menor igual) por lo que se agregará la variable de holgura S₁. En la tabla inicial, S₁ estará en la base.
Restricción 2: Tiene signo “≤” (menor igual) por lo que se agregará la variable de holgura S₂. En la tabla inicial, S₂ estará en la base.
Restricción 3: Tiene signo “≤” (menor igual) por lo que se agregará la variable de holgura S₃. En la tabla inicial, S₃ estará en la base.

A continuación se muestra el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz:

Función Objetivo

Maximizar: Z = 24X₁ + 22X₂ + 45X₃ + 0S₁ + 0S₂ + 0S₃

Sujeto a:

2X₁ + 1X₂ + 3X₃ + 1S₁ + 0S₂ + 0S₃ = 42

2X₁ + 1X₂ + 2X₃ + 0S₁ + 1S₂ + 0S₃ = 40

1X₁ + 1/2X₂ + 1X₃ + 0S₁ + 0S₂ + 1S₃ = 45

X₁, X₂, X₃, S₁, S₂, S₃ ≥ 0

Las letras presentes en las tablas corresponden a:

C_j: Vector de costes. Contiene los coeficientes de las variables de la función objetivo.
C_b: Coeficientes de los variables que conforman el vector solución.
Base: Variables que forman el vector solución.
Z: En esta fila encontrarás los valores del vector de costes reducidos. Se calcula multiplicando el vector solución por los coeficientes de las restricciones y se resta el vector de costes.
X_n, S_n: En cada una de las columnas se encuentran los coefientes de su variable correspondiente.
R: En esta columna se encuentra el término independiente de cada ecuación.
Se agregará un subíndice numérico adicional en las ecuaciones para identificar su posición en la tabla. Ejemplo: X_1,2: Coeficiente de X₁ en la fila 2. Para C_j y Z los subíndices indicarán su posición en la columna. Ejemplo: C_j,3: Indicaría el coeficiente de C_j en la columna 3.

Solución

Matriz Inicial

Para esta tabla, el valor de la fila Z se calculará así:

Z₁ = (C_b,1*X₁_,1) + (C_b,2*X₁_,2) + (C_b,3*X₁_,3) – C_j1 = (0*2) + (0*2) + (0*1) – (24) = -24

Z₂ = (C_b,1*X₂_,1) + (C_b,2*X₂_,2) + (C_b,3*X₂_,3) – C_j2 = (0*1) + (0*1) + (0*1/2) – (22) = -22

Z₃ = (C_b,1*X₃_,1) + (C_b,2*X₃_,2) + (C_b,3*X₃_,3) – C_j3 = (0*3) + (0*2) + (0*1) – (45) = -45

Z₄ = (C_b,1*S₁_,1) + (C_b,2*S₁_,2) + (C_b,3*S₁_,3) – C_j4 = (0*1) + (0*0) + (0*0) – (0) = 0

Z₅ = (C_b,1*S₂_,1) + (C_b,2*S₂_,2) + (C_b,3*S₂_,3) – C_j5 = (0*0) + (0*1) + (0*0) – (0) = 0

Z₆ = (C_b,1*S₃_,1) + (C_b,2*S₃_,2) + (C_b,3*S₃_,3) – C_j6 = (0*0) + (0*0) + (0*1) – (0) = 0

Z₇ = (C_b,1*R_,1) + (C_b,2*R_,2) + (C_b,3*R_,3) = (0*42) + (0*40) + (0*45) = 0

C_b	Base	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	R
Tabla 1	C_j	24	22	45	0	0	0
0	S₁	2	1	3	1	0	0	42
0	S₂	2	1	2	0	1	0	40
0	S₃	1	1/2	1	0	0	1	45
	Z	-24	-22	-45	0	0	0	0

En el vector de costes reducidos (Z) tenemos valores negativos, por lo que debemos seleccionar el más negativo para la columna pivote (maximización).

El vector solución esta compuesto por los siguientes números: [-24, -22, -45, 0, 0, 0]. El más negativo es = -45 que corresponde a la variable X₃. Esta variable ingresará a la base y sus valores en la tabla conformarán nuestra columna pivote.

Se verificará la condición de factibilidad, dividiendo los valores de la columna R entre la columna pivote X₃. Para procesar la división, el denominador debe ser estrictamente positivo (Si es cero o negativo se colocará N/A = No aplica). El menor valor positivo definirá la variable que saldrá de la base:

Fila S₁ → R₁ / X₃_,1 = 42 / 3 = 14 (Menor Valor Positivo)
Fila S₂ → R₂ / X₃_,2 = 40 / 2 = 20
Fila S₃ → R₃ / X₃_,3 = 45 / 1 = 45

El menor valor positivo corresponde a la fila de S₁. Esta variable saldrá de la base. El elemento pivote corresponde al valor que cruza la columna X₃ y la fila S₁ = 3.

Ingresa la variable X₃ y sale de la base la variable S₁. El elemento pivote es 3

Iteración 1

Realizaremos las iteraciones de cada valor en la tabla considerando lo siguiente:

Nuevo Valor Fila Pivote = Valor Actual Fila Pivote / Elemento Pivote
Nuevo Valor = Valor Actual – (Elemento Fila Columna Pivote*Nuevo Valor Fila Pivote)

Cálculos en fila Pivote (Fila N° 1):

Valor Actual Fila Pivote	2	1	3	1	0	0	42
Elemento Pivote	3	3	3	3	3	3	3
Nuevo Valor Fila Pivote	2 / 3 = 2/3	1 / 3 = 1/3	3 / 3 = 1	1 / 3 = 1/3	0 / 3 = 0	0 / 3 = 0	42 / 3 = 14

Ahora calcularemos los nuevos valores para las otras filas de la tabla:

Fila 2:

Valor Actual	2	1	2	0	1	0	40
Elemento Fila Columna Pivote	2	2	2	2	2	2	2
Nuevo Valor Fila Pivote	2/3	1/3	1	1/3	0	0	14
Nuevo Valor	2 – (2×2/3) = 2/3	1 – (2×1/3) = 1/3	2 – (2×1) = 0	0 – (2×1/3) = -2/3	1 – (2×0) = 1	0 – (2×0) = 0	40 – (2×14) = 12

Fila 3:

Valor Actual	1	1/2	1	0	0	1	45
Elemento Fila Columna Pivote	1	1	1	1	1	1	1
Nuevo Valor Fila Pivote	2/3	1/3	1	1/3	0	0	14
Nuevo Valor	1 – (1×2/3) = 1/3	1/2 – (1×1/3) = 1/6	1 – (1×1) = 0	0 – (1×1/3) = -1/3	0 – (1×0) = 0	1 – (1×0) = 1	45 – (1×14) = 31

Fila 4:

Valor Actual	-24	-22	-45	0	0	0	0
Elemento Fila Columna Pivote	-45	-45	-45	-45	-45	-45	-45
Nuevo Valor Fila Pivote	2/3	1/3	1	1/3	0	0	14
Nuevo Valor	-24 – (-45×2/3) = 6	-22 – (-45×1/3) = -7	-45 – (-45×1) = 0	0 – (-45×1/3) = 15	0 – (-45×0) = 0	0 – (-45×0) = 0	0 – (-45×14) = 630

C_b	Base	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	R
Tabla 2	C_j	24	22	45	0	0	0
45	X₃	2/3	1/3	1	1/3	0	0	14
0	S₂	2/3	1/3	0	-2/3	1	0	12
0	S₃	1/3	1/6	0	-1/3	0	1	31
	Z	6	-7	0	15	0	0	630

En el vector de costes reducidos (Z) tenemos valores negativos, por lo que debemos seleccionar el más negativo para la columna pivote (maximización).

El vector solución esta compuesto por los siguientes números: [6, -7, 0, 15, 0, 0]. El más negativo es = -7 que corresponde a la variable X₂. Esta variable ingresará a la base y sus valores en la tabla conformarán nuestra columna pivote.

Se verificará la condición de factibilidad, dividiendo los valores de la columna R entre la columna pivote X₂. Para procesar la división, el denominador debe ser estrictamente positivo (Si es cero o negativo se colocará N/A = No aplica). El menor valor positivo definirá la variable que saldrá de la base:

Fila X₃ → R₁ / X₂_,1 = 14 / 1/3 = 42
Fila S₂ → R₂ / X₂_,2 = 12 / 1/3 = 36 (Menor Valor Positivo)
Fila S₃ → R₃ / X₂_,3 = 31 / 1/6 = 186

El menor valor positivo corresponde a la fila de S₂. Esta variable saldrá de la base. El elemento pivote corresponde al valor que cruza la columna X₂ y la fila S₂ = 1/3.

Ingresa la variable X₂ y sale de la base la variable S₂. El elemento pivote es 1/3

Iteración 2

Realizaremos las iteraciones de cada valor en la tabla considerando lo siguiente:

Nuevo Valor Fila Pivote = Valor Actual Fila Pivote / Elemento Pivote
Nuevo Valor = Valor Actual – (Elemento Fila Columna Pivote*Nuevo Valor Fila Pivote)

Cálculos en fila Pivote (Fila N° 2):

Valor Actual Fila Pivote	2/3	1/3	0	-2/3	1	0	12
Elemento Pivote	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3
Nuevo Valor Fila Pivote	2/3 / 1/3 = 2	1/3 / 1/3 = 1	0 / 1/3 = 0	-2/3 / 1/3 = -2	1 / 1/3 = 3	0 / 1/3 = 0	12 / 1/3 = 36

Ahora calcularemos los nuevos valores para las otras filas de la tabla:

Fila 1:

Valor Actual	2/3	1/3	1	1/3	0	0	14
Elemento Fila Columna Pivote	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3
Nuevo Valor Fila Pivote	2	1	0	-2	3	0	36
Nuevo Valor	2/3 – (1/3×2) = 0	1/3 – (1/3×1) = 0	1 – (1/3×0) = 1	1/3 – (1/3×-2) = 1	0 – (1/3×3) = -1	0 – (1/3×0) = 0	14 – (1/3×36) = 2

Fila 3:

Valor Actual	1/3	1/6	0	-1/3	0	1	31
Elemento Fila Columna Pivote	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6
Nuevo Valor Fila Pivote	2	1	0	-2	3	0	36
Nuevo Valor	1/3 – (1/6×2) = 0	1/6 – (1/6×1) = 0	0 – (1/6×0) = 0	-1/3 – (1/6×-2) = 0	0 – (1/6×3) = -1/2	1 – (1/6×0) = 1	31 – (1/6×36) = 25

Fila 4:

Valor Actual	6	-7	0	15	0	0	630
Elemento Fila Columna Pivote	-7	-7	-7	-7	-7	-7	-7
Nuevo Valor Fila Pivote	2	1	0	-2	3	0	36
Nuevo Valor	6 – (-7×2) = 20	-7 – (-7×1) = 0	0 – (-7×0) = 0	15 – (-7×-2) = 1	0 – (-7×3) = 21	0 – (-7×0) = 0	630 – (-7×36) = 882

C_b	Base	X₁	X₂	X₃	S₁	S₂	S₃	R
Tabla 3	C_j	24	22	45	0	0	0
45	X₃	0	0	1	1	-1	0	2
22	X₂	2	1	0	-2	3	0	36
0	S₃	0	0	0	0	-1/2	1	25
	Z	20	0	0	1	21	0	882

Dado que no tenemos valores negativos en el vector de costes reducidos (Z) = [20, 0, 0, 1, 21, 0], significa que nos encontramos en el punto óptimo (maximización).

La solución óptima es Z = 882

X₁= 0, X₂= 36, X₃= 2, S₁= 0, S₂= 0, S₃= 25

b. El estado de cada recurso sería:

Recurso	Holgura	Estado
Piel (pies²)	0	Escaso
Costura (h)	0	Escaso
Acabado (h)	25	Abundante

Ver Listado de Problemas Resueltos

Ejercicio 3.11 – Gutchi Company – Método Simplex 3 Variables – Investigación de Operaciones – Hamdy A. Taha

Solución

Función Objetivo

Sujeto a:

Leyenda de tabla

Solución

Matriz Inicial

Cálculo de Vector Solución (Z)

Condición de Optimalidad

Condición de Factibilidad

Iteración 1

Cálculos

Condición de Optimalidad

Condición de Factibilidad

Iteración 2

Cálculos

Condición de Optimalidad